設(shè)P(x,y)為橢圓
x2
9
+
y2
4
=1
上的動(dòng)點(diǎn),A(a,0)(0<a<3)為定點(diǎn),已知|AP|的最小值為1,求a的值.
分析:由P(x,y)為橢圓
x2
9
+
y2
4
=1
上的動(dòng)點(diǎn),A(a,0)(0<a<3)為定點(diǎn),知|AP|2=(x-a)2+y2=(x-a)2+4-
4
9
x2
=
5
9
(x-
9a
5
)2
+4-
4a2
5
,x∈[-3,3]及|AP|的最小值為1,能求出a的值.
解答:解:∵P(x,y)為橢圓
x2
9
+
y2
4
=1
上的動(dòng)點(diǎn),A(a,0)(0<a<3)為定點(diǎn),
∴|AP|2=(x-a)2+y2=(x-a)2+4-
4
9
x2

=
5
9
(x-
9a
5
)2
+4-
4a2
5
,x∈[-3,3],
∵0<a<3,∴0<
9a
5
27
5
,
當(dāng)0
9a
5
≤3
,即0<a
5
3
時(shí),
|AP|2min=4-
4
5
a2
=1,解得a=
15
2
(舍);
當(dāng)
9a
5
>3
,即3>a>
5
3
時(shí),
當(dāng)x=3時(shí)取最小值,
則|AP|2min=a2-6a+9=1,解得a=2,或a=4(舍).
綜上,a=2
點(diǎn)評(píng):本題考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法,具體涉及到橢圓的性質(zhì),解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
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