【題目】已知函數(shù)為常數(shù)).

(1)討論函數(shù)的單調性;

(2)當時,設的兩個極值點恰為的零點,求的最小值.

【答案】(1)時,的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間減區(qū)間為,當時,的單調遞增區(qū)間為.(2)

【解析】

試題分析:(1)先求函數(shù)導數(shù),討論導函數(shù)符號變化規(guī)律:當時,導函數(shù)不變號,故的單調遞增區(qū)間為.當時,導函數(shù)符號由正變負,即單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間減區(qū)間為,(2)先求導數(shù)得為方程的兩根,再求導數(shù)得,因此,而由的零點,得,兩式相減得,即得,因此,從而,其中根據(jù)韋達定理確定自變量范圍:因為

,所以

試題解析:(1),當時,由解得,即當時,單調遞增, 解得,即當時,單調遞減,當時,,即上單調遞增,當時,,即上單調遞增,所以當時,的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間減區(qū)間為,當時,的單調遞增區(qū)間為.

(2),則,所以的兩根 即為方程的兩根. 因為,所以,又因為的零點,所以,兩式相減得,得,而,

所以

,由

因為,兩邊同時除以,得,因為,故,解得,所以,設,所以,則上是減函數(shù),所以,即的最小值為.

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