（2012•鹽城一模）如圖所示，在棱長為2的正方體AC1中，點P、Q分別在棱BC、CD上，滿足B1Q⊥D1P，且PQ=
2
．
（1）試確定P、Q兩點的位置．
（2）求二面角C1-PQ-A大小的余弦值．
分析：（1）以
AB
，
AD
，
AA1
為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)CP=a(0≤a≤
2
)，利用
B1Q
•
D1P
=0，得出關(guān)于a的方程并求解即可．
（2）分別求出平面C1PQ、面APQ的一個法向量，利用兩向量夾角求二面角C1-PQ-A大�。�
解答：解：（1）以
AB
，
AD
，
AA1
為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)CP=a(0≤a≤
2
)，
則CQ=
2-a2
，P(2，2-a，0)，Q(2-
2-a2
，2，0)，B1（2，0，2），D1（0，2，2），
B1Q
=(-
2-a2
，2，-2)，
D1P
=(2，-a，-2)，
∵B1Q⊥D1P，
∴
B1Q
•
D1P
=0，
∴-2
2-a2
-2a+4=0，
解得a=1…（4分）
∴PC=1，CQ=1，即P、Q分別為BCCD中點…（5分）
（2）設(shè)平面C1PQ的法向量為
n
=(a，b，c)，
∵
PQ
=(-1，1，0)，
PC1
=(0，1，2)，
又
n
•
PQ
=
n
•
PC1
=0，
∴
-a+b=0
b+2c=0
，
令c=-1，則a=b=2，
n
=(2，2，-1)…（8分）
∵
k
=(0，0，-2)為面APQ的一個法向量，
∴cos＜
n
，
k
＞=
1
3
，而二面角為鈍角
故余弦值為-
1
3
…（10分）
點評：本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷，二面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計算、轉(zhuǎn)化能力．利用向量這一工具，解決空間幾何體問題，能夠降低思維難度．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•鹽城一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是菱形，PA=PC，E為PB的中點．
（1）求證：PD∥面AEC；
（2）求證：平面AEC⊥平面PDB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•鹽城一模）函數(shù)f（x）=（x2+x+1）ex（x∈R）的單調(diào)減區(qū)間為
（-2，-1）（或閉區(qū)間）
（-2，-1）（或閉區(qū)間）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•鹽城一模）若關(guān)于x的方程kx+1=lnx有解，則實數(shù)k的取值范圍是
(-∞，
1
e2
]
(-∞，
1
e2
]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•鹽城一模）已知x、y、z均為正數(shù)，求證：
3
3
(
1
x
+
1
y
+
1
z
)≤
1
x2
+
1
y2
+
1
z2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•鹽城一模）在極坐標(biāo)系中，圓C的方程為ρ=4
2
cos(θ-
π
4
)，以極點為坐標(biāo)原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為
x=t+1
y=t-1
（t為參數(shù)），求直線l被⊙C截得的弦AB的長度．

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