已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)若在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
(Ⅰ)單調(diào)遞減區(qū)間是 ;單調(diào)遞增區(qū)間是.極小值是
(Ⅱ)的最小值為的取值范圍是.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)函數(shù)的定義域為(0,+∞).
當(dāng)時, 2分
當(dāng)變化時,的變化情況如下:
- |
0 |
+ |
|
|
極小值 |
的單調(diào)遞減區(qū)間是 ;單調(diào)遞增區(qū)間是.
極小值是 6分
(Ⅱ)由,得 8分
又函數(shù)為上的單調(diào)減函數(shù).
則在上恒成立, 所以不等式在上恒成立,
即在上恒成立. 10分
設(shè),顯然在上為減函數(shù),
所以的最小值為的取值范圍是. 12分
考點:本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值及最值,恒成立問題解法。
點評:典型題,本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題,通過研究函數(shù)的單調(diào)性,明確了極值情況。通過研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值情況,得到證明不等式。恒成立問題,往往要轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值求法。本題涉及對數(shù)函數(shù),要特別注意函數(shù)的定義域。
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