分析 (1)由a1=12,Sn=n2an.當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1,可得(n+1)an=(n-1)an-1.可得a2=16,a3=112,a4=120.猜想:an=1n(n+1).利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.
(2)an=1n(n+1)=1n−1n+1,利用“裂項求和”方法即可得出.
解答 解:(1)由a1=12,Sn=n2an.當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1,化為(n+1)an=(n-1)an-1.
∴a2=13a1=16.同理可得:a3=112,a4=120.
猜想:an=1n(n+1).
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)n=1時,a1=11×2=12,成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k∈N*時成立,即ak=1k(k+1).
則當(dāng)n=k+1時,ak+1=kk+2ak=kk+2×1k(k+1)=1(k+1)(k+1+1),也成立.
綜上可得:?n∈N*,an=1n(n+1).
(2)∵an=1n(n+1)=1n−1n+1,
∴數(shù)列{an}的前n項和Sn=(1−12)+(12−13)+…+(1n−1n+1)
=1-1n+1
=nn+1.
點評 本題考查了遞推關(guān)系、數(shù)學(xué)歸納法、“裂項求和”方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 3 | B. | 2 | C. | \frac{1}{2} | D. | \frac{1}{3} |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 9 | B. | 11 | C. | 15 | D. | 16 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | -1 | C. | \frac{1}{2} | D. | -\frac{1}{2} |
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com