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15.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=12,Sn=n2an
(1)分別計算a2,a3,a4,猜想通項公式an,并用數(shù)學(xué)歸納法證明之;
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn

分析 (1)由a1=12,Sn=n2an.當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1,可得(n+1)an=(n-1)an-1.可得a2=16,a3=112,a4=120.猜想:an=1nn+1.利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.
(2)an=1nn+1=1n1n+1,利用“裂項求和”方法即可得出.

解答 解:(1)由a1=12,Sn=n2an.當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1,化為(n+1)an=(n-1)an-1
∴a2=13a1=16.同理可得:a3=112,a4=120
猜想:an=1nn+1
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)n=1時,a1=11×2=12,成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k∈N*時成立,即ak=1kk+1
則當(dāng)n=k+1時,ak+1=kk+2ak=kk+2×1kk+1=1k+1k+1+1,也成立.
綜上可得:?n∈N*,an=1nn+1
(2)∵an=1nn+1=1n1n+1,
∴數(shù)列{an}的前n項和Sn=112+1213+…+1n1n+1
=1-1n+1
=nn+1

點評 本題考查了遞推關(guān)系、數(shù)學(xué)歸納法、“裂項求和”方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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