設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，并且滿足f（x-y）=f（x）-f（y），且f（2）=1，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）如果f（x）+f（x+2）＜2，求x的取值范圍．
分析：（1）利用賦值法，求f（0）的值；
（2）利用函數(shù)奇偶性的定義，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可求解．
解答：解：（1）．令x=y，則f（0）=f（x）-f（x），
∴f（0）=0
（2）．令x=0，則f（-y）=f（0）-f（y），
∵f（0）=0，∴f（-y）=-f（y），
∴f（-x）=-f（x），
即f（x）在R上是奇函數(shù)．
（3）．令x=4，y=2，得f（4-2）=f（4）-f（2），即f（4）=2f（2）=2，
由f（x）+f（x+2）＜2，得f（x）＜f（4）-f（x+2），
∴f（x）＜f（4-x-2），即f（x）＜f（2-x），
下判斷函數(shù)的單調(diào)單調(diào)性．
設(shè)x1＜x2，且x2=x1+t，t＞0，
由f（x-y）=f（x）-f（y），得
f（x1）=f（x2-t）=f（x2）-f（t），
∵t＞0，∴f（t）＞0，
∴f（x1）-f（x2）=-f（t）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在R上是增函數(shù)，
∴由f（x）＜f（2-x），得x＜2-x，
解得x＜1．
∴x的取值范圍是（-∞，1）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法是解決抽象函數(shù)常見(jiàn)的方法．本題綜合性較強(qiáng)．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，并且滿足f（x+y）=f（x）+f（y），f(
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)=1，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)槿wR，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立，數(shù)列{an}滿足a1=f（0），且f(an+1)=
1
f(
-an
2an+1
)
（n∈N*）
（Ⅰ）求證：y=f（x）是R上的減函數(shù)；          
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若不等式
k
(1+a1)(1+a2)…(1+an)
-
1
2n+1
≤0對(duì)一切n∈N*均成立，求k的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽+，若對(duì)于給定的正數(shù)k，定義函數(shù)：fk(x)=
k，f(x)≤k
f(x)，f(x)＞k
，則當(dāng)函數(shù)f(x)=
1
x
，k=1時(shí)，函數(shù)fk（x）的圖象與直線x=
1
4
，x=2，y=0圍成的圖形的面積為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2007•閔行區(qū)一模）（文）設(shè)函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)是y=f-1（x），且函數(shù)y=f（x）過(guò)點(diǎn)P（2，-1），則f-1（-1）=
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2008•南匯區(qū)二模）設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＜0且f（3）=-4．
（1）求證：y=f（x）為奇函數(shù)；
（2）在區(qū)間[-9，9]上，求y=f（x）的最值．

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