Question

已知α，β為銳角，且tan（2α+β）=

3

t

，tanα=

1

t

，（t∈[1，2]），求α+β的最大值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正切函數(shù)

專題：計算題,三角函數(shù)的求值

分析：由兩角差的正切公式得到則tan（α+β）=tan[（2α+β）-α]=

2

t+ 3 t

，再由導(dǎo)數(shù)求出t+

3

t

的極小值點，也為最小值點，代入注意角的范圍，即可得到最大值．

解答： 解：由于α，β為銳角，且tan（2α+β）=

3

t

，tanα=

1

t

，
則tan（α+β）=tan[（2α+β）-α]=

tan(2α+β)-tanα

1+tan(2α+β)tanα

=

2 t

1+ 3 t2

=

2

t+ 3 t

，
由于1≤t≤2，則（t+

3

t

）′=1-

3

t2

=0，則得t=

3

（負(fù)值舍去），
檢驗得t=

3

為極小值點，也為最小值點，
則有t+

3

t

的值域為[2

3

，4]，
則有tan（α+β）的最大值為

3

3

，
由于0＜α+β＜π，
即有α+β的最大值為

π

6

．

點評：本題考查三角函數(shù)的求值，考查兩角差的正切函數(shù)的公式，考查函數(shù)的最值的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．