Question

8．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=9，其前n項(xiàng)和為S_n，且數(shù)列{S_n+$\frac{9}{2}$}是公比為3的等比數(shù)列．求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 由已知條件推導(dǎo)出S_n=$\frac{9}{2}×{3}^{n}$-$\frac{9}{2}$，再由a_n=S_n-S_n-1，能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=9，其前n項(xiàng)和為S_n，且數(shù)列{S_n+$\frac{9}{2}$}是公比為3的等比數(shù)列，
∴${S}_{1}+\frac{9}{2}$=9+$\frac{9}{2}$=$\frac{27}{2}$，
∴S_n+$\frac{9}{2}$=$\frac{27}{2}$×3^n-1，
∴S_n=$\frac{9}{2}×{3}^{n}$-$\frac{9}{2}$，
∴${a}_{1}={S}_{1}=\frac{9}{2}×3-\frac{9}{2}$=9，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（$\frac{9}{2}×{3}^{n}$-$\frac{9}{2}$）-（$\frac{9}{2}×{3}^{n-1}$-$\frac{9}{2}$）=3ⁿ⁺¹，
當(dāng)n=1時(shí)，上式成立，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式${a}_{n}={3}^{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．