Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)A(－2，－1)橢圓C∶＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，短軸端點(diǎn)為B₁、B₂，＝2b².
(1)求a、b的值；
(2)過點(diǎn)A的直線l與橢圓C的另一交點(diǎn)為Q，與y軸的交點(diǎn)為R.過原點(diǎn)O且平行于l的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為P.若AQ·AR＝3OP²，求直線l的方程．

Answer 1

（1）a＝2，b＝（2）當(dāng)k＝1時(shí)，直線l的方程為x－y＋1＝0，當(dāng)k＝－2時(shí)，直線l的方程為2x＋y＋5＝0.

(1)因?yàn)?i>F(－c,0)，B₁(0，－b)，B₂(0，b)，所以＝(c，－b)，＝(c，b)．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035039933568.png" style="vertical-align:middle;" />＝2b²，
所以c²－b²＝2b².①
因?yàn)闄E圓C過A(－2，－1)，代入得，＝1.②
由①②解得a²＝8，b²＝2.
所以a＝2，b＝.
(2)由題意，設(shè)直線l的方程為y＋1＝k(x＋2)．
由得(x＋2)[(4k²＋1)(x＋2)－(8k＋4)]＝0.
因?yàn)?i>x＋2≠0，所以x＋2＝，即x_Q＋2＝.
由題意，直線OP的方程為y＝kx.
由得(1＋4k²)x²＝8.則＝，
因?yàn)?i>AQ·AR＝3OP².所以|x_Q－(－2)|×|0－(－2)|＝3.
即×2＝3×.
解得k＝1，或k＝－2.
當(dāng)k＝1時(shí)，直線l的方程為x－y＋1＝0，當(dāng)k＝－2時(shí)，直線l的方程為2x＋y＋5＝0