（本題滿分12分）如圖,在三棱柱中,側(cè)面底面,,,且為中點.

(I)證明:平面;

(II)求直線與平面所成角的正弦值;

(III)在上是否存在一點,使得平面,若不存在,說明理由;若存在,確定點的位置.

 

【答案】

(I)證明見解析

(II)

(III) 存在這樣的點E,E為的中點

【解析】(1)因為側(cè)面底面,所以只需證明即可.

（2）可以以O(shè)為原點，ＯＮ，ＯＣ，ＯＡ１所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后用向量的方法求解線面角的問題.

（3）在（2）的基礎(chǔ)上也可以用向量來求點E位置.也可以取BC的中點M，連接OM，取BC1的中點E，連接ME，則OM//AB，ME//BB1//AA1，所以平面OMB//平面AA1B，所以O(shè)E//平面.從而確定E為BC1的中點.

(Ⅰ)證明:因為,且O為AC的中點,

所以 

又由題意可知,平面平面,交線為,且平面,

所以平面 

(Ⅱ)如圖,以O(shè)為原點,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

由題意可知,又 

所以得: 

則有: 

設(shè)平面的一個法向量為,則有

,令,得 

所以 

 

因為直線與平面所成角和向量與所成銳角互余,所以 

(Ⅲ)設(shè) 

即,得 

所以得 

令平面,得 , 

即得 

即存在這樣的點E,E為的中點 

 

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（本題滿分12分）

如圖所示的幾何體是由以正三角形為底面的直棱柱被平面所截而得. ，為的中點．

（1）當(dāng)時，求平面與平面的夾角的余弦值；

（2）當(dāng)為何值時，在棱上存在點，使平面？

 

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（Ⅰ）確定點的位置，使得；

（Ⅱ）當(dāng)時，求二面角的平

面角余弦值.

 

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（本題滿分12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=2，E是PB的中點，F(xiàn)是AD的中點．

 ⑴求異面直線PD與AE所成角的大�。�

 ⑵求證：EF⊥平面PBC ；

 ⑶求二面角F—PC—B的大�。�.

 

 

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（本題滿分12分）

如圖3，在圓錐中，已知的直徑的中點．

（I）證明：

（II）求直線和平面所成角的正弦值．

 

 

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（本題滿分12分）

如圖，三棱錐S—ABC中，AB⊥BC，D、E分別為AC、BC的中點，SA=SB=SC。

   （1）求證：BC⊥平面SDE；

   （2）若AB=BC=2，SB=4，求三棱錐S—ABC的體積。

 

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