若橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點（2，1），離心率為
2
2
，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左、右焦點．
（Ⅰ）若點P與F1，F(xiàn)2的距離之比為
1
3
，求直線x-
2
y+
3
=0被點P所在的曲線C2截得的弦長；
（Ⅱ） 設(shè)A1，A2分別為橢圓C1的左、右頂點，Q為C1上異于A1，A2的任意一點，直線A1Q交C1的右準(zhǔn)線于點M，直線A2Q交C1的右準(zhǔn)線于點N，求證MF2⊥NF2．
由題意得：
22
a2
+
12
b2
=1
c
a
=
2
2
?
a=
6
b=
3
c=
3
，F(xiàn)1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為：（-
3
，0），（
3
，0）．
（I）設(shè)點P（x，y）與F1，F(xiàn)2的距離之比為
1
3
，
則：
(x+
3
) 2+y 2
(x-
3
) 2+y 2 
=
1
3
?（x+
3
3
4
）2+y2=
27
16
，
是一個圓心在（-
3
3
4
，0）半徑為：
3
3
4
的圓，
圓心到直線直線x-
2
y+
3
=0的距離為d=
3
4
3
=
1
4
，
直線x-
2
y+
3
=0被點P所在的曲線C2截得的弦長為：
2
27
16
-
1
16
=
26
2
．
（II）設(shè)Q（s，t），由題意直線QA1的方程為
y
t
+
x-
6
s+
6
=1，
直線QA2的方程為
y
t
+
x+
6
s-
6
=1，
由于橢圓右準(zhǔn)線方程為x=
a2
c
=2
3
，F(xiàn)2（
3
，0），
∵直線QA1．QA2分別交橢圓的右準(zhǔn)線于M、N點
∴M（2，
6
s+
6
t），N（2，
2
s-
6
t）
又P（s，t）在橢圓上，故有t2=3-
s2
2
 代入整理得
kMF 2•k NF 2=-1
∴MF2⊥NF2．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與雙曲線 C2：x2-
y2
4
=1有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點，若C1恰好將線段AB三等分，則橢圓C1的離心率為 （　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(2，
3
)，且它的離心率e=
1
2
．直線l：y=kx+t與橢圓C1交于M、N兩點．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）當(dāng)k=
3
2
時，求證：M、N兩點的橫坐標(biāo)的平方和為定值；
（Ⅲ）若直線l與圓C2：(x-1)2+y2=1相切，橢圓上一點P滿足
OM
+
ON
=λ
OP
，求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點（2，1），離心率為
2
2
，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左、右焦點．
（Ⅰ）若點P與F1，F(xiàn)2的距離之比為
1
3
，求直線x-
2
y+
3
=0被點P所在的曲線C2截得的弦長；
（Ⅱ） 設(shè)A1，A2分別為橢圓C1的左、右頂點，Q為C1上異于A1，A2的任意一點，直線A1Q交C1的右準(zhǔn)線于點M，直線A2Q交C1的右準(zhǔn)線于點N，求證MF2⊥NF2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)與拋物線C2：x2=2py（p＞0）的一個交點為M，拋物線C2在點M處的切線過橢圓C1的右焦點F．
（Ⅰ）若M(2，
2
5
5
)，求C1和C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）求橢圓C1離心率的取值范圍．

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