Question

16．當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，設(shè)f（n）=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）•…•（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）．
（Ⅰ）求f（2）、f（3）、f（4）的值；
（Ⅱ）猜想f（n）的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（n）=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）•…•（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$），可求得a₁，a₂，a₃的值，
（Ⅱ）從而可猜想f（n）的表達(dá)式，按照數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟：先證明n=1時(shí)命題成立，再假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，去證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立，從而得出命題對任意n≥2，n∈N^*，等式都成立．

解答 解：（Ⅰ）f（2）=（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）=$\frac{3}{4}$，f（3）=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）=$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{6}$，f（4）=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）=$\frac{5}{8}$；
（Ⅱ）猜想f（n）=$\frac{n+1}{2n}$，（n≥2，n∈N^*），
證明　（1）當(dāng)n=2時(shí)，左邊=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，右邊=$\frac{2+1}{2×2}$=$\frac{3}{4}$，∴n=2時(shí)等式成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（n≥2，n∈N^*）時(shí)等式成立，即f（k）=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）•…•（1-$\frac{1}{{k}^{2}}$）=$\frac{k+1}{2k}$，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，f（k+1）=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）•…•（1-$\frac{1}{（k+1）^{2}}$）=$\frac{k+1}{2k}$•（1-$\frac{1}{（k+1）^{2}}$）=$\frac{k+1}{2k}$•$\frac{{k}^{2}+2k}{（k+1）^{2}}$=$\frac{k+2}{2（k+1）}$=$\frac{k+1+1}{2（k+1）}$
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立，
根據(jù)（1）和（2）知，對任意n≥2，n∈N^*，等式都成立．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查推理證明的能力，假設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)命題成立，去證明則當(dāng)n=k+1時(shí)，用上歸納假設(shè)是關(guān)鍵，屬于中檔題．