Question

13．有一圓心角為60°半徑為1的扇形鐵板．工人師傅要裁出一個面積最大的矩形，下列兩種裁法哪一種更好，說明理由．

Answer 1

分析 乙方案根據(jù)構(gòu)造輔助線，∠POG=θ，分別表示出EG和HG，根據(jù)矩形的面積公式求得S的表達式，根據(jù)三角恒等變換及正弦函數(shù)最值，即可求得S的最大值，對甲方案，構(gòu)造輔助線，∠QOB=θ，表示出AB，根據(jù)正弦定理求得BC，根據(jù)矩形面積公式及正弦函數(shù)的最值，即可求得面積S，比較大小即可求得結(jié)果．

解答 解：如圖乙方案：設(shè)∠POG=θ，則FG=Rsinθ，
在△OEF中，HG=$\frac{2Rsin（60°-θ）}{\sqrt{3}}$，
又設(shè)矩形EFGH的面積為S，那么S=FG•HG=$\frac{2{R}^{2}sin（60°-θ）sinθ}{\sqrt{3}}$=$\frac{{R}^{2}}{\sqrt{3}}$•[cos（2θ-60°）-$\frac{1}{2}$]，
又∵0°＜θ＜60°，故當cos（2θ-60°）=1，
即θ=30°時，S取最大$\frac{\sqrt{3}}{6}$R²；
如圖甲方案，設(shè)∠QOB=θ，則AB=2Rsin（30°-θ），在△OFG中，∠OCB=150°，
$\frac{BC}{sinθ}$=$\frac{R}{sin150°}$，即BC=2Rsinθ
設(shè)矩形的面積為S．
那么S_EFFG=4R²sinθsin（30°-θ）
=2R²[cos（2θ-30°）-cos30°]=2R²[cos（2θ-30°）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
又∵0＜θ＜30°，故當cos（2θ-30°）=1即θ=15°時，S取最大R²（2-$\sqrt{3}$），
顯然$\frac{\sqrt{3}}{6}$R²＞R²（2-$\sqrt{3}$），
乙方案矩形的最大面積．

點評 本題考查三角恒等變換的實際應(yīng)用，考查正弦函數(shù)最值及正弦定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．