如圖,正方形ABCD的邊長為1,對角線AC與BD相交于點O,點P是AB邊上的一個動點(點P不與點A、B重合),CP與BD相交于點Q.
(1)若CP平分∠ACB,求證:AP=2QO.
(2)先按下列要求畫出相應圖形,然后求解問題.①把線段PC繞點P旋轉90°,使點C落在點E處,并連接AE.設線段BP的長度為x,△APE的面積為S.試求S與x的函數(shù)關系式;②求出S的最大值,判斷此時點P所在的位置.
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分析:(1)過點O作OM∥AB交PC于點M,則∠COM=∠CAB,證明∠OMQ=∠OQM,即可得出結論;
(2)①分類討論求出AP,可得△APE的面積S與x的函數(shù)關系式;②利用配方法可求函數(shù)的最值.
解答:(1)證明:過點O作OM∥AB交PC于點M,則∠COM=∠CAB.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴OA=OC,∠CAB=∠CBD=∠COM=45°,∴AP=2OM.
又∵∠1=∠2,∴∠1+∠COM=∠2+∠CBD,
即∠OMQ=∠OQM.
∴OM=OQ,∴AP=2OQ.
(2)解:根據題意①ⅰ、當PC繞點P逆時針旋轉90°時,作EF⊥AB交BA延長線于點F,
則∠EFP=∠PBC=90°,∠3+∠CPB=90°.
又∠2+∠CPB=90°,∴∠3=∠2.
又PE由PC繞點P旋轉形成,∴PE=PC,∴△EPF≌△CPB.
∴EF=BP=x,∴AP=1-x,
∴S△APE=
1
2
AP•EF=
1
2
(1-x)x

∴△APE的面積S與x的函數(shù)關系式為S=-
1
2
x2+
1
2
x
(0<x<1).
ⅱ、當PC繞點P順時針旋轉90°時,作EG⊥AB交AB延長線于點G,
則同理可得△EPG≌△CPB,EG=BP=x.
∴△APE的面積S與x的函數(shù)關系式為S=-
1
2
x2+
1
2
x

由ⅰ、ⅱ可得△APE的面積S與x的函數(shù)關系式為S=-
1
2
x2+
1
2
x
,(0<x<1).
②由①知S與x的函數(shù)關系式為S=-
1
2
x2+
1
2
x
,(0<x<1).
即S=-
1
2
(x-
1
2
)2+
1
8
,(0<x<1).
∴當x=
1
2
時S的值最大,最大值為
1
8

此時點P所在的位置是邊AB的中點處.
點評:本題考查三角形的全等,考查三角形面積的計算,考查函數(shù)的最值,確定函數(shù)解析式是關鍵.
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2
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(Ⅱ)求證:CF⊥平面BDE;
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④AB與平面BCD成45°角.
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①③④

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2
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6
3
,試確定點M的位置.
(文)若AD=2,求四棱錐E-ABCD的體積.

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