Question

已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是邊長為2的菱形，AA₁=2

3

，BD⊥A₁A，∠BAD=∠A₁AC=60°，點(diǎn)M是棱AA₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A₁C∥平面BMD；
（Ⅱ）求點(diǎn)C₁到平面BDD₁B₁的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連結(jié)MO，由已知條件推導(dǎo)出MO∥A₁C，由此能證明A₁C∥平面BMD；
（Ⅱ）設(shè)C₁H為C₁到平面BDD₁B₁的距離，證明A₁O⊥平面ABCD，利用等體積，結(jié)合點(diǎn)B到平面A₁B₁C₁D₁的距離等于點(diǎn)A₁到平面ABCD的距離A₁O=3，可得點(diǎn)C₁到平面BDD₁B₁的距離．

解答： （Ⅰ）證明：AC∩BD=O，連結(jié)MO，
∵A₁M=MA，AO=OC，
∴MO∥A₁C，
∵M(jìn)O?平面BMD，A₁C不包含于平面BMD，
∴A₁C∥平面BMD                …（4分）
（Ⅱ）解：設(shè)C₁H為C₁到平面BDD₁B₁的距離，
∵BD⊥A₁A，BD⊥AC，A₁A∩AC=A，
∴BD⊥平面A₁AC，
∴BD⊥A₁O，
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，
∴AO=

1

2

AC=

3

，
∵AA₁=2

3

，∠A₁AC=60°，
∴A₁O⊥AC，
∵AC∩BD=O，
∴A₁O⊥平面ABCD，…（8分）
∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，
∴點(diǎn)B到平面A₁B₁C₁D₁的距離等于點(diǎn)A₁到平面ABCD的距離A₁O=3    …（10分）
∵

1

3

•A₁O•

1

2

•2•

3

=

1

3

•C₁H•

1

2

•2•2

3

，
∴C₁H=

3

2

 …（12分）

點(diǎn)評：本題考查線面平行，考查點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，掌握直線與平面平行的證明方法是關(guān)鍵．