Question

12．已知實(shí)數(shù)a，b∈R且a²-ab+b²=3，則$\frac{（1+ab）^{2}}{{a}^{2}+^{2}+1}$的最大值為$\frac{16}{7}$．

Answer 1

分析 由基本不等式，結(jié)合a²-ab+b²=3可得-1≤ab≤3；化簡(jiǎn)$\frac{（1+ab）^{2}}{{a}^{2}+^{2}+1}$=$\frac{（ab+1）^{2}}{ab+3+1}$=（ab+4）+$\frac{9}{ab+4}$-6，從而利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求最值．

解答 解：∵a²-ab+b²=3，
∴a²+b²=3+ab，
∴3+ab≥2ab且3+ab≥-2ab，
即-1≤ab≤3；
$\frac{（1+ab）^{2}}{{a}^{2}+^{2}+1}$=$\frac{（ab+1）^{2}}{ab+3+1}$
=（ab+4）+$\frac{9}{ab+4}$-6，
∵3≤ab+4≤7，
∴當(dāng)ab+4=7時(shí)有最大值為7+$\frac{9}{7}$-6=$\frac{16}{7}$，
故答案為：$\frac{16}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式與函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．