Question

已知?jiǎng)訄AM與直線x=-2相切，且與定圓C：（x-3）²+y²=1外切．
（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程；
（Ⅱ）若正△OAB的三個(gè)頂點(diǎn)都在點(diǎn)M的軌跡上（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求該正三角形的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）動(dòng)圓M與直線x=-2相切，且與定圓C：（x-3）²+y²=1，可以看到動(dòng)圓的圓心M到C（3，0）的距離與到直線x=-3的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是拋物線，由此易得軌跡方程；
（Ⅱ）正△OAB的三個(gè)頂點(diǎn)都在點(diǎn)M的軌跡上（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），此正三角形必有一個(gè)頂點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)的連線垂直于拋物線的對(duì)稱軸，由此易得過原點(diǎn)的兩邊所在直線y=y=±

3?

3

x，與點(diǎn)M的軌跡方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得正三角形的邊長(zhǎng)．

解答：解：（Ⅰ）由題意動(dòng)圓M與直線x=-2相切，且與定圓C：（x-3）²+y²=1外切
∴動(dòng)點(diǎn)M到C（3，0）的距離與到直線x=-3的距離相等
由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以C（3，0）為焦點(diǎn)直線x=-3為準(zhǔn)線的拋物線
故所求M的軌跡方程為y²=12x
（Ⅱ）由題意此正三角形必有一個(gè)頂點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)的連線垂直于拋物線的對(duì)稱軸，可設(shè)過原點(diǎn)的兩邊所在的直線方程為y=±

3?

3

x，
∴

y2=12x y= 3 3 x

?yA=12

3

∴正△OAB的邊長(zhǎng)AB=2yA=24

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，熟記拋物線的定義是求解本題的關(guān)鍵，由定義法求軌跡的方程是近幾年高考的熱點(diǎn)，要注意掌握高中數(shù)學(xué)中所學(xué)的幾個(gè)重要定義，如圓錐曲線的定義，圓的定義等，第二小問的求解，關(guān)鍵是理解拋物線的對(duì)稱性，從而得出此正三角的位置特征，借助這一特征求出正三角的面積