Question

7．設a＞0，且a≠1，己知函數f（x）=log_a$\frac{1-bx}{x-1}$是奇函數，若f（2）＜2，則a的取值范圍是（$\sqrt{3}$，+∞）∪（0，1）．

Answer 1

分析 根據f（-x）=-f（x），利用對數函數的性質求得b，再解對數不等式求得a的范圍．

解答 解：∵函數f（x）=log_a$\frac{1-bx}{x-1}$是奇函數，
∴f（-x）=log_a$\frac{1+bx}{-x-1}$=-f（x）=-log_a$\frac{1-bx}{x-1}$=log_a$\frac{x-1}{1-bx}$，
∴$\frac{1+bx}{-x-1}$=$\frac{x-1}{1-bx}$，即1-（bx）²=1-x²，∴b=±1．
當b=1時，函數f（x）無意義，故舍去；當b=-1時，函數f（x）=log_a $\frac{x+1}{x-1}$．
再由f（2）＜2，可得log_a3＜2=${{log}_{a}a}^{2}$．
當a＞1時，求得a＞$\sqrt{3}$，∴a＞$\sqrt{3}$；當0＜a＜1時，求得0＜a＜1，
故答案為：（$\sqrt{3}$，+∞）∪（0，1）．

點評 本題主要考查函數的奇偶性、解對數不等式，屬于基礎題．