Question

已知函數(shù)f（x）=log_a[（

1

a

-2）x+1]，（a＞0且a≠1，a是參數(shù)）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）當x∈[1，2]時，f（x）＞0恒成立；求a的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1））轉(zhuǎn)化（

1

a

-2）x+1]＞0，（

1

a

-2）x＞-1，分類討論求解．
（2）f（x）有意義得：

a＞0，a≠1 ( 1 a -2)+1＞0 2( 1 a -2)+1＞0

，再利用函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

解答： 解：（1）∵（

1

a

-2）x+1]＞0，（

1

a

-2）x＞-1，．
當

1

a

-2＞0時，即0＜a＜

1

2

時，x＞

-1

1 a -2

=

a

2a-1

定義域為（

a

2a-1

，+∞），
當

1

a

-2=0時，即=

1

2

定義域為R，
當

1 a -2＜0 a＞0，且a≠1

即a＞

1

2

且a≠1時，x＜

a

2a-1

定義域為（-∞，

a

2a-1

），
（2）當x∈[1，2]時，f（x）有意義得：

a＞0，a≠1 ( 1 a -2)+1＞0 2( 1 a -2)+1＞0

解得0＜a＜

2

3

設t=（

1

a

-2）x+1則y=log_at關于t是減函數(shù)．
①當0＜a＜

1

2

，即

1

a

-2≥0，由x∈[1，2]，t=（

1

a

-2）x+1≥1
∴f（x）=log_a[（

1

a

-2）x+1]≤0，這與f（x）＞0恒成立矛盾．
②當

1

2

＜a＜

2

3

，即-

1

2

＜

1

a

-2＜0由x∈[1，2]有0＜t=（

1

a

-2）x+1＜1
∴f（x）=log_a[（

1

a

-2）x+1]＞0符合題意，
綜上所述：a的取值范圍是（

1

2

，

2

3

）

點評：本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，不等式的求解，屬于中檔題．