Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，cos（C+

π

4

）+cos（C-

π

4

）=

2

2

．
（I）求角C的大�。�
（II）若c=2

3

，sinA=2sinB，求a，b．

Answer 1

分析：（I）利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡已知的等式，根據(jù)C是三角形的內(nèi)角，得到C的度數(shù)；
（II）由sinA=2sinB，根據(jù)正弦定理得到a與b的關(guān)系式，記作①，利用余弦定理表示出c²，由c和cosC的值代入即可得到a與b的另一個(gè)關(guān)系式，記作②，聯(lián)立①②即可求出a與b的值．

解答：解：（I）由cos（C+

π

4

）+cos（C-

π

4

）=2cosCcos

π

4

=

2

cosC=

2

2

，
得到cosC=

1

2

，因?yàn)镃為三角形的內(nèi)角，所以C=

π

3

；
（II）由sinA=2sinB得：

sinA

sinB

=2，根據(jù)正弦定理得：

a

b

=2，即a=2b①，
又c²=a²+b²-2abcosC，c=2

3

，C=

π

3

，所以a²+b²-ab=12②，
聯(lián)立①②，解得a=4，b=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡求值，靈活運(yùn)用正弦、余弦定理化簡求值，是一道中檔題．