【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+ ,(a>0)
(1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
(3)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]的最小值.

【答案】
(1)解:a=2時(shí),f(x)=lnx+ ,(x>0),且f(1)=0,

又∵f(x)= ,(x>0),

∴f(x)在x=1處的切線斜率為f′(1)= ,

故切線的斜率為y= (x﹣1),

即x﹣2y﹣1=0


(2)解:由題意,f′(x)= = ,

∵a為大于零的常數(shù),

若使函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,

則使ax﹣1≥0在區(qū)間[1,+∞)上恒成立,

即a﹣1≥0,故a≥1


(3)解:①當(dāng)a≥1時(shí),f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,

則fmin(x)=f(1)=0;

②當(dāng)0<a≤ 時(shí),f′(x)在區(qū)間[1,2]恒不大于0,

f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減,

則fmin(x)=f(2)=ln2﹣ ;

③當(dāng) <a<1時(shí),令f′(x)=0可解得,x= ∈(1,2);

易知f(x)在區(qū)間[1, ]單調(diào)遞減,在[ ,2]上單調(diào)遞增,

則fmin(x)=f( )=ln +1﹣ ;

綜上所述,

①當(dāng)a≥1時(shí),fmin(x)=0;

②當(dāng) <a<1時(shí),fmin(x)=ln +1﹣ ;

③當(dāng)0<a≤ 時(shí),fmin(x)=ln2﹣


【解析】(1)根據(jù)a的值求得函數(shù)解析式,再根據(jù)f(x)在x=1處的切線斜率為f′(1)進(jìn)而求得其切線方程;(2)由函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間可知f′(x)≥0在區(qū)間[1,+∞)上恒成立,解不等式即可得a的取值范圍;(3)求函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的最小值,先判斷該區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性,不能確定時(shí),需對不確定的量進(jìn)行分類討論.
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知, .

(1)求的解析式;

(2)求的值域;

(3)設(shè), 時(shí),對任意總有成立,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知Ω={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},A是由直線y=0,x=a(0<a≤1)和曲線y=x3圍成的曲邊三角形的平面區(qū)域,若向區(qū)域Ω上隨機(jī)投一點(diǎn)P,點(diǎn)P落在區(qū)域A內(nèi)的概率是 ,則a的值為( )
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列關(guān)于回歸分析的說法中錯(cuò)誤的是( )
A.回歸直線一定過樣本中心(
B.殘差圖中殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中,說明選用的模型比較合適
C.兩個(gè)模型中殘差平方和越小的模型擬合的效果越好
D.甲、乙兩個(gè)模型的R2分別約為0.98和0.80,則模型乙的擬合效果更好

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,的取值范圍;

(2)設(shè)函數(shù),若對任意,總有,的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn), , 在圓上.

(1)求圓的方程;

(2)過點(diǎn)的直線交圓, 兩點(diǎn). 

①若弦長,求直線的方程;

②分別過點(diǎn), 作圓的切線,交于點(diǎn),判斷點(diǎn)在何種圖形上運(yùn)動(dòng),并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某公司為了研究年宣傳費(fèi)(單位:千元)對銷售量(單位:噸)和年利潤(單位:千元)的影響,搜集了近 8 年的年宣傳費(fèi)和年銷售量數(shù)據(jù):

1

2

3

4

5

6

7

8

38

40

44

46

48

50

52

56

45

55

61

63

65

66

67

68

(Ⅰ)請補(bǔ)齊表格中 8 組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,并判斷中哪一個(gè)更適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的函數(shù)表達(dá)式?(給出判斷即可,不必說明理由)

(Ⅱ)若(Ⅰ)中的,且產(chǎn)品的年利潤, 的關(guān)系為,為使年利潤值最大,投入的年宣傳費(fèi) x 應(yīng)為何值?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】橢圓 的兩頂點(diǎn)為A,B如圖,離心率為 ,過其焦點(diǎn)F(0,1)的直線l與橢圓交于C,D兩點(diǎn),并與x軸交于點(diǎn)P,直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q.

(Ⅰ)當(dāng) 時(shí),求直線l的方程;
(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)P異于A,B兩點(diǎn)時(shí),求證: 為定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知關(guān)于的函數(shù)上的偶函數(shù),且在區(qū)間上的最大值為10. 設(shè)

求函數(shù)的解析式;

若不等式上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

是否存在實(shí)數(shù),使得關(guān)于的方程有四個(gè)不相等的實(shí) 數(shù)根?如果存在,求出實(shí)數(shù)的范圍,如果不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案