Question

14．如圖，圓錐SO中，AB、CD為底面圓O的兩條直徑，AB∩CD=O，且AB⊥CD，SO=OB=2，P為SB的中點(diǎn)．（1）求證：SA∥平面PCD；
（2）求三棱錐S-PCD的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件可知PO∥SA，由線面平行的判定定理即可得出SA∥平面PCD；
（2）由已知可證SP⊥平面PCD，并求得OP，SP的長(zhǎng)，代入棱錐體積公式得答案．

解答 （1）證明：連接PO；
∵P、O分別為SB、AB的中點(diǎn)，∴PO∥SA；
∵PO?平面PCD，SA?平面PCD；
∴SA∥平面PCD；
（2）由題意，SO⊥OB，又SO=OB=2，
∴△SOB為等腰直角三角形，
∵P為SB的中點(diǎn)，∴OP⊥SB，
由AB⊥CD，SO⊥CD，SO∩AB=O，得CD⊥平面SOB，∴CD⊥SB．
則SB⊥面PCD，
∴${V}_{S-PCD}=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}CD•OP•SP=\frac{1}{6}×4×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查中位線的性質(zhì)，線面平行、線面垂直的判定定理，考查棱錐體積的求法，是中檔題．