Question

如圖，設計一個小型正四棱錐形冷水塔，其中頂點P在底面的射影為正方形ABCD的中心O，返水口E為BC的中點，冷水塔的四條鋼梁（側棱）設計長度均為10米．冷水塔的側面選用鋼板，基于安全與冷凝速度的考量，要求鋼梁（側棱）與底面的夾角α落在區(qū)間內(nèi)，如何設計可得側面鋼板用料最省且符合施工要求？

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，算出底面邊長等于，從而在Rt△P0E中算出，可得側面積關于α的函數(shù)關系式：S_側面=，由sinα∈[]即可算出當α=時，側面鋼板用料最�。�由此可得相應的底面邊長和高，得到本題答案．
解答：解：依題意，可得
鋼梁（側棱）與底面的夾角為∠PBO=α．
∴OP=10sinα，-------------------------（2分）
則，
可得---------（4分）
在Rt△POE中，
，---（6分）
∴-------（8分）
=----------------------------（10分）
又∵，可得，----------（11分）
∴當且僅當時，側面積取得最小值，等于---------------（13分）
此時的，，．
即冷水塔的底面邊長應設計為米，高米時，側面鋼板用料最省--------（14分）
點評：本題給出實際應用問題，求側面積的最小值．著重考查了正棱錐的性質(zhì)、直線與平面所成角、解直角三角形和三角函數(shù)模型的應用等知識，屬于中檔題．