Question

已知函數(shù)f（x）=

x+ 1 x ，x＞0 3x+a ，x≤0

，若關(guān)于x的方程f（x²+2x）=3有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令t=x²+2x，則t≥-1，f（t）=

t+ 1 t ，t＞0 3t+a，-1≤t≤0

．由題意可得，函數(shù)f（t）的圖象與直線y=3 有3個(gè)不同的交點(diǎn)，且每個(gè)t值有2個(gè)x值與之對(duì)應(yīng)，數(shù)形結(jié)合可得a的取值范圍．

解答： 解：令t=x²+2x=（x+1）²-1，則t≥-1，
由函數(shù)f（t）=

t+ 1 t ，t＞0 3t+a，-1≤t≤0

可得，函數(shù)f（t）的圖象與直線y=3 有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
且每個(gè)t值有2個(gè)x值與之對(duì)應(yīng)，如圖所示：

由于當(dāng)t=-1時(shí)，f（t）=3+a有一個(gè)實(shí)根，此時(shí)，t=-1對(duì)應(yīng)的x值只有一個(gè)x=-1，故a的取值范圍是 a≥2．
故答案為：a≥2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想及等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．