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9.已知橢圓E的兩個焦點(diǎn)分別為(0,-1)和(0,1),離心率e=22
(1)求橢圓E的方程
(2)若直線l:y=kx+m(k≠0)與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B,且線段AB的垂直平分線過定點(diǎn)P(0,12),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

分析 (1)由題意可知:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2a2+x22=1(a>b>0),c=1,e=ca=22,a=2,b2=1,即可求得橢圓E的方程;
(2)由丨PA丨=丨PB丨,利用兩點(diǎn)之間的距離公式求得(x1+x2)(k2+1)=-2k(m-12),①,將直線方程代入橢圓方程,x1+x2=-2kmk2+2,②,由△>0,m2<k2+2,③代入即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解答 解:(1)由橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2a2+x22=1(a>b>0),
則c=1,e=ca=22,a=2,
b2=a2-c2=1,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y22+x2=1
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的垂直平分線過定點(diǎn)P(0,12),
∴丨PA丨=丨PB丨,即x21+y1122=x22+y2122,
∵A,B在l上,則y1=kx1+m,y2=kx2+m,代入求得(x1+x2)(k2+1)=-2k(m-12),①
{y=kx+my22+x2=1,整理得:(k2+2)x2+2kmx+m2-2=0,
由韋達(dá)定理:x1+x2=-2kmk2+2,②,
由直線和橢圓有兩個交點(diǎn),
∴△>0,即4k2m2-4(k2+2)(m2-2)>0,則m2<k2+2,③
將②代入①得m=k22+1,④,
將④代入③,解得:-2<k<2
∵k≠0,
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍(-2,0)∪(2,0).

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,兩點(diǎn)之間的距離公式,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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