Question

已知△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對邊的長依次為a，b，c，M為該三角形所在平面內(nèi)的一點，若a

MA

+b

MB

+c

MC

=

0

，則M是△ABC的（　�。�

• A、內(nèi)心
• B、重心
• C、垂心
• D、外心

Answer 1

考點：三角形五心

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用

分析：延長CM交AB于D，根據(jù)向量加法得：

MA

=

MD

+

DA

，

MB

=

MD

+

DB

，代入已知得：a（

MD

+

DA

）+b（

MD

+

DB

）+c

MC

=

0

，由兩不共線的向量的和為零向量的結(jié)論：已知

a

，

b

不共線，若x

a

+y

b

=

0

，則x=y=0，再由內(nèi)角平分線的判定定理的逆定理，得到CD為角平分線，同理可得AM，BM的延長線也是角平分線．即可判斷M為內(nèi)心．

解答： 解：M是三角形ABC的內(nèi)心．
理由如下：已知a

MA

+b

MB

+c

MC

=

0

，延長CM交AB于D，
根據(jù)向量加法得：

MA

=

MD

+

DA

，

MB

=

MD

+

DB

，
代入已知得：a（

MD

+

DA

）+b（

MD

+

DB

）+c

MC

=

0

，
因為

MD

與

MC

共線，所以可設(shè)

MD

=k

MC

，
上式可化為（ka+kb+c）

MC

+（ a

DA

+b

DB

）=

0

，
由于

DA

與

DB

共線，

MC

與

DA

、

DB

不共線，
所以只能有：ka+kb+c=0，a

DA

+b

DB

）=

0

，
由a

DA

+b

DB

=

0

可知：

DA

與

DB

的長度之比為

b

a

，
所以由內(nèi)角平分線定理的逆定理可得CD為∠ACB的平分線，
同理可證AM，BM的延長線也是角平分線．故M為內(nèi)心．
故選A．

點評：本題考查平面向量及運用，考查三角形的內(nèi)心的定義和內(nèi)角平分線的判定定理的逆定理，考查向量的運算，屬于中檔題和易錯題．