Processing math: 100%
3.如圖,△ABC的兩條中線AD和BE相交于點(diǎn)G,且D,C,E,G四點(diǎn)共圓.
(Ⅰ)求證:∠BAD=∠ACG;
(Ⅱ)若GC=1,求AB.

分析 (Ⅰ)由題意可得,G為△ABC的重心,根據(jù)D、C、E、G 四點(diǎn)共圓,可得∠ADE=∠ACG,DE∥AB,故有∠BAD=∠ADE,從而得到∠BAD=∠ACG.
(Ⅱ)延長CG交AB于F,則F為AB的中點(diǎn),且CG=2GF.證得△AFG∽△CFA,可得FAFC=FGFA,即 FA2=FG•FC,根據(jù)條件化為即AB=3GC,從而得出結(jié)論.

解答 證明:(Ⅰ)∵△ABC的兩條中線AD和BE相交于點(diǎn)G,
∴G為△ABC的重心.
連結(jié)DE,因為D、C、E、G 四點(diǎn)共圓,則∠ADE=∠ACG.
又因為AD、BE為△ABC的兩條中線,
所以點(diǎn)D、E分別是BC、AC的中點(diǎn),故DE∥AB,
∴∠BAD=∠ADE,
從而∠BAD=∠ACG.
解:(Ⅱ)∵G為△ABC的重心,延長CG交AB于F,則F為AB的中點(diǎn),且CG=2GF.
在△AFC與△GFA中,因為∠FAG=∠FCA,∠AFG=∠CFA,
所以△AFG∽△CFA,
FAFC=FGFA,即 FA2=FG•FC.
因為FA=12AB,F(xiàn)G=12GC,F(xiàn)C=32GC,
14•AB2=34CG2,即AB=3GC,
又∵GC=1,
所以AB=3

點(diǎn)評 本小題主要考查圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、切割線定理等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力等,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

5.如圖,是一塊足球訓(xùn)練場地,其中球門AB寬7米,B點(diǎn)位置的門柱距離邊線EF的長為21米,現(xiàn)在有一球員在該訓(xùn)練場地進(jìn)行直線跑動中的射門訓(xùn)練.球員從離底線AF距離x(x≥10)米,離邊線EF距離a(7≤a≤14)米的C處開始跑動,跑動線路為CD(CD∥EF),設(shè)射門角度∠ACB=θ.
(1)若a=14,
①當(dāng)球員離底線的距離x=14時,求tanθ的值;
②問球員離底線的距離為多少時,射門角度θ最大?
(2)若tanθ=13,當(dāng)a變化時,求x的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

6.已知角θ的終邊在直線y=2x上,求sinθ和tanθ的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

11.設(shè)函數(shù)f(x)=ex-axx+1(x>-1).
(Ⅰ)當(dāng)a=1時,討論f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)a>0時,設(shè)f(x)在x=x0處取得最小值,求證:f(x0)≤1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

18.設(shè)α、β均為銳角,則1sin2α+1cos2αcos2βsin2β的最小值是9.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

8.已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),∠AOB=60°,C為該球面上的動點(diǎn),若三棱錐O-ABC體積的最大值為183,則球O的表面積為(  )
A.36πB.64πC.144πD.256π

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

15.已知函數(shù)f(x)={12x+14x[012]2x2x+2x121],g(x)=acosπx2+5-2a(a>0),若對任意的x1∈[0,1],總存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[52,133].

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

12.在△ABC中,BC=2,AB=3,B=π3,△ABC的面積是332

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

13.在平面幾何中有如下的結(jié)論:若正三角形ABC的內(nèi)切圓的面積為S1,外接圓的面積為S2,則S1S2=14.推廣到空間幾何體中可以得到類似的結(jié)論;若正四面體ABCD的內(nèi)切球的體積為V1,外接球體積為V2,則V2V1=27.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案