Question

如圖，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，左右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為B，拋物線(xiàn)分別以A,B為焦點(diǎn)，其頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O，與相交于 直線(xiàn)上一點(diǎn)P．

（1）求橢圓C及拋物線(xiàn)的方程；

（2）若動(dòng)直線(xiàn)與直線(xiàn)OP垂直，且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N，已知點(diǎn)，求的最小值。

 

 

Answer 1

（1）橢圓C:，拋物線(xiàn)C1：拋物線(xiàn)C2：；（2）．

【解析】

試題分析：(1)由題意可得A（a，0），B（0，），而拋物線(xiàn)C1，C2分別是以A、B為焦點(diǎn)，∴可求得C2的解析式：，設(shè)C1的解析式為，再由C1與C2的交點(diǎn)在直線(xiàn)y=x上，；(2)直線(xiàn)OP的斜率為，所以直線(xiàn)的斜率為，設(shè)直線(xiàn)方程為，

設(shè)M（）、N（），將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，利用解析幾何中處理直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)中常用的“設(shè)而不求”思想，可以得到,結(jié)合韋達(dá)定理，即可得到的最值．

（1）由題意可得A（a，0），B（0，），故拋物線(xiàn)C1的方程可設(shè)為，C2的方程為 1分

由 得 3分

∴橢圓C:，拋物線(xiàn)C1：拋物線(xiàn)C2： 5分； （2）由（1）知，直線(xiàn)OP的斜率為，所以直線(xiàn)的斜率為，設(shè)直線(xiàn)方程為

由，整理得

設(shè)M（）、N（），則 7分

因?yàn)閯?dòng)直線(xiàn)與橢圓C交于不同兩點(diǎn)，所以

解得 8分

，

∵，

∴ 11分

∵，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，

其最小值等于 13分

考點(diǎn)：1、圓錐曲線(xiàn)解析式的求解；2、直線(xiàn)與橢圓相交綜合題．