已知橢圓的焦點是F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),P為橢圓上一點,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中項.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)求△PF1F2面積的最大值及此時點P的坐標(biāo).
分析:(Ⅰ)根據(jù)橢圓和數(shù)列的基本性質(zhì)以及題中已知條件便可求出a和b值,進而求得橢圓方程;(Ⅱ)先表達出△PF1F2面積,再結(jié)合圖形求面積的最大值.
解答:解:(Ⅰ)由題設(shè)|PF
1|+|PF
2|=2|F
1F
2|=4(2分)∴2a=4,2c=2,∴b=
(4分)
∴橢圓的方程為
+=1.(6分)
(Ⅱ)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y)△PF
1F
2面積
S=|F1F2|•|y|=
×2c×|y|=×2|y|=|y|(8分)
所以當(dāng)|y|取最大值時,△PF
1F
2面積的面積最大,所以點P為橢圓短軸端點時|y|取最大值(10分)
此時
y=±,即P(0,
±),△PF
1F
2面積的最大值
S=(12分)
點評:本題橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解利用了橢圓的定義,關(guān)鍵是求出其基本量,求面積的最大值,轉(zhuǎn)化為點P的縱坐標(biāo)到y(tǒng)軸距離最大問題,則利用了圖形可以解決,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合得數(shù)學(xué)思想.