已知是等差數(shù)列，首項，前項和為.令,的前項和.數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，前項和為，且，.

（1）求數(shù)列、的通項公式；

（2）證明：.

 

【答案】

(1) ，；(2)見解析.

【解析】

試題分析：(1)首先設等差數(shù)列的公差為，由已知建立的方程，求得，寫出等差數(shù)列的通項公式；進一步確定等比數(shù)列的公比，求得等比數(shù)列的通項公式.

(2)求得，將不等式加以轉(zhuǎn)化成，

即證：.注意到這是與自然數(shù)有關的不等式證明問題，故考慮應用數(shù)學歸納法.

很明顯時，，因此用數(shù)學歸納法證明：當時，.

試題解析：(1)設等差數(shù)列的公差為，因為

所以

則

則

解得，所以 4分

所以，

所以 6分

(2)由(1)知，

要證，

只需證

即證： 8分

當時，

下面用數(shù)學歸納法證明：當時，

（1）當時，左邊，右邊，左右，不等式成立

（2）假設，

則時，

時不等式成立

根據(jù)（1）（2）可知：當時，

綜上可知：對于成立

所以 12分

考點：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及其求和公式，數(shù)學歸納法.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）若{an}是等差數(shù)列，首項a1＞0，a2005+a2006＞0，a2005•a2006＜0，則使前n項和Sn＞0成立的最大正整數(shù)n是
 

（2）已知一個等比數(shù)列的首項為1，項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項之和為85，偶數(shù)項和為170，則這個數(shù)列的公比等于
 
，項數(shù)等于
 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等比數(shù)列{an}的首項為a1=2，公比為q（q為正整數(shù)），且滿足3a3是8a1與a5的等差中項；數(shù)列{bn}滿足2n2-（t+bn）n+
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bn=0（t∈R，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）試確定t的值，使得數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；
（3）當{bn}為等差數(shù)列時，對任意正整數(shù)k，在ak與ak+1之間插入2共bk個，得到一個新數(shù)列{cn}．設Tn是數(shù)列{cn}的前n項和，試求滿足Tn=2cm+1的所有正整數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的首項a1=1，且log2an+1=log2an+1，
數(shù)列{bn-an}是等差數(shù)列，首項為1，公差為2，其中n∈N*．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知是等差數(shù)列，首項，前項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，首項

　 （Ⅰ）求和的通項公式.

　 （Ⅱ）令求的前項和

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