Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

x

1+x

-aln（1+x），g（x）=ln（1+x）-bx
（1）若函數(shù)f（x）在x=0處有極值，求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）是否存在實數(shù)b，使得關(guān)于x的不等式g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范圍；若不存在，說明理由；
（3）證明：不等式-1＜

n

i=1

k

k2+1

-lnx≤

1

2

（n=1，2…）

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）在x=0處有極值，可得f′（0）=0，解得a．再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．
（2）由已知得：g′（x）=

1

1+x

-b，對b分類討論：b≥1，b≤0，0＜b＜1，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．
（3）由以上可得：

x

1+x

＜ln(1+x)＜x(x＞0)，取x=

1

n

，可得

1

1+n

＜ln(1+

1

n

)＜

1

n

，即可得出．

解答： 解：（1）由已知得：f′（x）=

1

(1+x)2

-

a

1+x

，且函數(shù)f（x）在x=0處有極值，
∴f′（0）=1-a=0，解得a=1．
∴f（x）=

x

1+x

-ln(1+x)，
∴f′（x）=

1

(1+x)2

-

1

1+x

=

-x

(1+x)2

．
當(dāng)x∈（-1，0）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
∴函數(shù)f（x）的最大值為f（0）=0．
（2）由已知得：g′（x）=

1

1+x

-b，
（i）若b≥1，則x∈（0，+∞）時，g′（x）＜0恒成立；
∴函數(shù)g（x）在x∈（0，+∞）上為減函數(shù)，
∴函數(shù)g（x）＜g（0）=0在x∈（0，+∞）上恒成立．
（ii）若b≤0，則x∈（0，+∞）時，g′（x）＞0．
∴g（x）在x∈（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴g（x）＞g（0）=0，不能使g（x）＜0在x∈（0，+∞）恒成立；
（iii）若0＜b＜1，則g′（x）=

1

1+x

-b=0時，x=

1

b

-1，
當(dāng)x∈[0，

1

b

-1)時，g′（x）≥0，∴g（x）在x∈[0，

1

b

-1)上為增函數(shù)，
此時g（x）＞g（0）=0，
∴不能使g（x）＜0在x∈（0，+∞）恒成立；
綜上所述，b的取值范圍是[1，+∞）．
（3）證明：由以上可得：

x

1+x

＜ln(1+x)＜x(x＞0)，
取x=

1

n

，可得

1

1+n

＜ln(1+

1

n

)＜

1

n

，
令xn=

n

k=1

k

k2+1

-lnn，
則x₁=

1

2

，x_n-x_n-1=

n

n2+1

-ln(1+

1

n-1

)＜

n

n2+1

-

1

n

=-

1

n(n2+1)

＜0，
∴數(shù)列{x_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，
∴x_n≤x₁=

1

2

，
n≥2時，x_n-x_n-1=

n

n2+1

-ln(1+

1

n-1

)＞

n

n2+1

-

1

n-1

＞

1

n+1

-

1

n-1

，
∴x_n-x₁＞

1

n+1

+

1

n

-1-

1

2

，
∴xn＞

1

n+1

+

1

n

-1＞-1．
綜上可得：-1＜

n

i=1

k

k2+1

-lnx≤

1

2

（n=1，2…）成立．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．