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4.設函數(shù)f(x)=lnx+mx,m∈R,若對任意b>a>0,fbfaba<1恒成立,則m的取值范圍為[14,+∞).

分析 由b>a>0,fbfaba<1恒成立,等價于f(b)-b<f(a)-a恒成立;即h(x)=f(x)-x在(0,+∞)上單調(diào)遞減;h′(x)≤0,求出m的取值范圍.

解答 (Ⅲ)對任意b>a>0,fbfaba<1恒成立,
等價于f(b)-b<f(a)-a恒成立;
設h(x)=f(x)-x=lnx+mx-x(x>0),
則h(b)<h(a).
∴h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;
∵h′(x)=1x-mx2-1≤0在(0,+∞)上恒成立,
∴m≥-x2+x=-(x-122+14(x>0),
∴m≥14;
對于m=14,h′(x)=0僅在x=12時成立;
∴m的取值范圍是[14,+∞).

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用問題,解題時應根據(jù)函數(shù)的導數(shù)判定函數(shù)的增減性以及求函數(shù)的極值和最值,應用分類討論法,構造函數(shù)等方法來解答問題.

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