Question

已知數(shù)列{a_n} 的首項為1，前n項和為S_n，且滿足a _n+1=3S_n，n∈N^*．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b_n=log₄a_n．
（1）求數(shù)列{a_n} 的通項公式；
（2）當(dāng)n∈N^*時，試比較b₁+b₂+…+b_n與與（n-1）²的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)a_n+1=3S_n得a_n+2=3S_n+1兩式相減整理可得 ，進(jìn)而可判斷出數(shù)列{a_n} 從第二項起是以4為公比的等比數(shù)列．進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得當(dāng)n≥2時的通項公式，最后綜合可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）把（1）中的代入b_n=log₄a_n求得b_n，進(jìn)而對b₁+b₂+b₃+…+b_n進(jìn)行分組求和求得b₁+b₂+b₃+…+b_n=
進(jìn)而根據(jù) 證明原式．
解答：解：（I）由a_n+1=3S_n（1），得a_n+2=3S_n+1（2），
由（2）-（1）得a_n+1-a_n+1=3a_n+1，
整理，得 ，n∈N^*．
所以，數(shù)列a₂，a₃，a₄，…，a_n，是以4為公比的等比數(shù)列．
其中，a₂=3S₁=3a₁=3，
所以 ；
（II）由題意，．
當(dāng)n≥2時，b₁+b₂+b₃+…+b_n
=0+（log₄3+0）+（log₄3+1）+…+（log₄3+n-2）
=
=
=，
所以 ．
點評：本題主要考查了數(shù)列的求和問題．根據(jù)a_n+1=3S_n求得數(shù)列的通項公式是關(guān)鍵，得到數(shù)列{a_n} 從第二項起是等比數(shù)列，是易錯點，考查運(yùn)算能力，屬中檔題．