【題目】已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,13),且函數(shù) 是偶函數(shù).
(1)求的解析式;
(2)已知,,求函數(shù)在[,2]上的最大值和最小值;
(3)函數(shù)的圖象上是否存在這樣的點(diǎn),其橫坐標(biāo)是正整數(shù),縱坐標(biāo)是一個(gè)完全平方數(shù)?如果存在,求出這樣的點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析.
【解析】分析:(1)由是偶函數(shù),知函數(shù)的對(duì)稱軸是,再由二次函數(shù)性質(zhì)可得;
(2)由(1),按的正負(fù)分類去絕對(duì)值符號(hào),得兩個(gè)二次函數(shù),配方得對(duì)稱軸,再按對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系分類可求得最值;
(3)假設(shè)存在,并設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)P,其中為正整數(shù),為自然數(shù),則,從而,即 ,注意到43是質(zhì)數(shù),且,可得,,從而得解.
詳解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù),所以二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程為,故.
又因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,13),所以,故.
因此,的解析式為.
(2) 當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,
由此可知=0.
當(dāng),;
當(dāng),;
當(dāng),;
(3)如果函數(shù)的圖象上存在符合要求的點(diǎn),設(shè)為P,其中為正整數(shù),為自然數(shù),則,從而,
即.
注意到43是質(zhì)數(shù),且,,所以有解得
因此,函數(shù)的圖象上存在符合要求的點(diǎn),它的坐標(biāo)為(10,121).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣3x2﹣m,g(x)=3ex﹣6(1﹣m)x﹣3(m∈R,e為自然對(duì)數(shù)底數(shù)).
(1)試討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)證明:當(dāng)m>0,且x>0時(shí),總有g(shù)(x)>f'(x).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合A={x|log2x>2}, ,則下列結(jié)論成立的是( )
A.A∩B=A
B.(RA)∩B=A
C.A∩(RB)=A
D.(RA)∩(RB)=A
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系 中,傾斜角為 的直線 過(guò)點(diǎn) ,以原點(diǎn) 為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線 的極坐標(biāo)方程為 .
(1)寫出直線 的參數(shù)方程( 為常數(shù))和曲線 的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線 與 交于 、 兩點(diǎn),且 ,求傾斜角 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù) = ,其中 ,若存在唯一的整數(shù) ,使得 ,則 的取值范圍是( )
A.[- ,1)
B.[- , )
C.[ , )
D.[ ,1)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若不等式的解集為,求實(shí)數(shù)的值;
(2)若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)生對(duì)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究,得出如下的結(jié)論:
①函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
②點(diǎn)是函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心;
③存在常數(shù),使對(duì)一切實(shí)數(shù)均成立;
④函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱.其中正確的結(jié)論是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形 中, ,點(diǎn) 為 的中點(diǎn), 為線段 (端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將 沿 折起,使得平面 平面 .設(shè)直線 與平面 所成角為 ,則 的最大值為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=cosx的圖象與直線x= ,x= 以及x軸所圍成的圖形的面積為a,則(x﹣ )(2x﹣ )5的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為(用數(shù)字作答).
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