以橢圓的一個頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)作此橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形,試問:(1)這樣的等腰直角三角形是否存在?若存在,寫出一個等腰直角三角形兩腰所在的直線方程。若不存在,說明理由。(2)這樣的等腰直角三角形若存在,最多有幾個?

(1)存在,;(2)存在,最多有個.

解析試題分析:(1)這樣的等腰直角三角形存在.直線y=x+1與直線y=-x+1滿足題意;
(2)設(shè)出CA所在的直線方程,代入橢圓的方程并整理,求出|CA|,同理求出|CB|,由|CA|=|CB|得(k-1)[k2-(a2-1)k+1]=0,討論方程根的情況,即可得出結(jié)論.
試題解析:(1)這樣的等腰直角三角形存在。因?yàn)橹本與直線垂直,且關(guān)于軸對稱,所以直線與直線是一個等腰直角三角形兩腰所在的直線方程。
(2)設(shè)兩點(diǎn)分別居于軸的左,右兩側(cè),設(shè)的斜率為,則所在的直線方程為,代入橢圓的方程并整理得,,的橫坐標(biāo)為,
同理可得,所以由
,
當(dāng)時,(1)的解是無實(shí)數(shù)解;
當(dāng)時,(1)的解是的解也是;當(dāng)時,(1)的解除外,方程有兩個不相等的正根,且都不等于,故(1)有 個正根。
所以符合題意的等腰直角三角形一定存在,最多有個。
考點(diǎn):(1)橢圓的性質(zhì);(2)直線與圓錐曲線的應(yīng)用.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓P在x軸上截得線段長為2,在y軸上截得線段長為2.
(1)求圓心P的軌跡方程;
(2)若P點(diǎn)到直線y=x的距離為,求圓P的方程.

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設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn),線段的中點(diǎn)在拋物線上. 設(shè)動直線與拋物線相切于點(diǎn),且與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn),以為直徑的圓記為圓
(1)求的值;
(2)證明:圓軸必有公共點(diǎn);
(3)在坐標(biāo)平面上是否存在定點(diǎn),使得圓恒過點(diǎn)?若存在,求出的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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已知橢圓+=1(a>b>0),點(diǎn)P(a,a)在橢圓上.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)A為橢圓的左頂點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若點(diǎn)Q在橢圓上且滿足|AQ|=|AO|,求直線OQ的斜率的值.

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已知圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,且恰好與直線相切.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)A為圓上一動點(diǎn),AN軸于N,若動點(diǎn)Q滿足(其中m為非零常數(shù)),試求動點(diǎn)的軌跡方程.
(3)在(2)的結(jié)論下,當(dāng)時,得到動點(diǎn)Q的軌跡曲線C,與垂直的直線與曲線C交于 B、D兩點(diǎn),求面積的最大值.

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如圖,橢圓過點(diǎn)P(1, ),其左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率e=, M, N是直線x=4上的兩個動點(diǎn),且·=0.

(1)求橢圓的方程;
(2)求MN的最小值;
(3)以MN為直徑的圓C是否過定點(diǎn)?

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給定橢圓C:+=1(a>b>0),稱圓心在原點(diǎn)O,半徑為的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”.若橢圓C的一個焦點(diǎn)為F(,0),其短軸上的一個端點(diǎn)到F的距離為.
(1)求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”的方程.
(2)點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個動點(diǎn),過動點(diǎn)P作直線l1,l2使得l1,l2與橢圓C都只有一個交點(diǎn),且l1,l2分別交其“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M,N.
①當(dāng)P為“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)時,求l1,l2的方程;
②求證:|MN|為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,直線,拋物線,已知點(diǎn)在拋物線上,且拋物線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為

(1)求直線及拋物線的方程;
(2)過點(diǎn)的任一直線(不經(jīng)過點(diǎn))與拋物線交于、兩點(diǎn),直線與直線相交于點(diǎn),記直線,的斜率分別為,, .問:是否存在實(shí)數(shù),使得?若存在,試求出的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

若橢圓=1的焦距為2,求橢圓上的一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離之和.

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