已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=2an+n+1,n∈N*
(Ⅰ)若數(shù)列{an+pn+q}是等比數(shù)列,求實數(shù)p、q的值;
(Ⅱ)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,求an和Sn;
(Ⅲ)試比較an與(n+2)2的大。
分析:(1)利用等比數(shù)列的定義,設(shè)
an+1+p(n+1)+q
an+pn+q
=m
對任意n∈N*都成立,待定系數(shù)法求出常數(shù)p和q的值.
(2)求出數(shù)列通項公式,拆項后分別使用等比數(shù)列、等差數(shù)列求和公式進行求和.
(3)對項數(shù)n進行檢驗、歸納猜想,將猜想的結(jié)論進行等價轉(zhuǎn)化,明確目標,將不等式進行適當?shù)姆趴s.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)
an+1+p(n+1)+q
an+pn+q
=m
對任意n∈N*都成立.
得an+1+p(n+1)+q=man+mpn+mq.(2分)
又an+1=2an+n+1,
則2an+n+1+pn+p+q=man+mpn+mq,
即(2-m)an+(p+1-mp)n+p+1+q-mq=0.
由已知可得an>0,
所以
2-m=0
p+1-mp=0
p+1+q-mq=0
.
解得
m=2
p=1
q=2
.
(5分)
則存在常數(shù)p=1,q=2使數(shù)列{an+pn+q}為等比數(shù)列.(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得an+n+2=4•2n-1
則an=2n+1-n-2.(8分)
所以Sn=a1+a2++an=22+23++2n+1-(3+4++n+2)=
22(2n-1)
2-1
-
n(n+5)
2
=2n+2-4-
n2+5n
2
.(10分)
(Ⅲ)當n=1時,a1=1,(1+2)2=9,則a1<9;
當n=2時,a2=4,(2+2)2=16,則a2<16;
當n=3時,a3=11,(3+2)2=25,則a3<25;
當n=4時,a4=26,(4+2)2=36,則a4<36;
當n=5時,a5=57,(5+2)2=49,則a5>49;(11分)
當n≥5時,要證an>(n+2)2?2n+1-n-2>(n+2)2?2n+1>n2+5n+6.
而2n+1=Cn+10+Cn+11+Cn+12++Cn+1n+1≥2(Cn+10+Cn+11+Cn+12)+Cn+13
=2+2(n+1)+n(n+1)+
(n-1)•n•(n+1)
6

≥2+2(n+1)+n(n+1)+(n-1)•n(∵n+1≥6)
=(n2+5n+6)+[n(n-3)-2]>n2+5n+6.
所以當n≥5時,an>(n+2)2.(13分)
因此當1≤n≤4(n∈N*)時,an<(n+2)2;當n≥5(n∈N*)時,an>(n+2)2.(14分)
點評:本題綜合考查數(shù)列的等比關(guān)系的確定,數(shù)列求和及將不等式適當放所的方法.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
, n∈N*

(1)若數(shù)列{bn}滿足:bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn
(3)數(shù)列{an-bn}是否存在最大項,如果存在求出,若不存在說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
則{an}的通項公式
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=
3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)證明:對于一切正整數(shù)n,不等式a1•a2•…an<2•n!

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|(n∈N*
(1)若a1=
54
,求an;
(2)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求{an}的前3k項的和S3k(用k,a表示)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•北京模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1

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