Question

13．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}$+（a+1）x+（1-a）lnx，a∈R．
（Ⅰ）當a=3時，求曲線C：y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當x∈[1，2]時，若曲線C：y=f（x）上的點（x，y）都在不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{1≤x≤2}\\{x≤y}\\{y≤x+\frac{3}{2}}\end{array}}$所表示的平面區(qū)域內(nèi)，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出當a=3時的f（x）的解析式和導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程；
（Ⅱ）由題意可得當1≤x≤2時，$x≤f（x）≤x+\frac{3}{2}$恒成立．設(shè)g（x）=f（x）-x=$-\frac{1}{2}{x^2}+ax+（1-a）lnx$，x∈[1，2]．求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當a=3時，$f（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+4x-2lnx$，x＞0．
導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-x+4-$\frac{2}{x}$，
則f'（1）=-1+4-2=1，而$f（1）=-\frac{1}{2}+4=\frac{7}{2}$．
所以曲線C在點（1，f（1））處的切線方程為$y-\frac{7}{2}=x-1$，
即2x-2y+5=0．
（Ⅱ）依題意當x∈[1，2]時，曲線C上的點（x，y）都在不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{1≤x≤2}\\{x≤y}\\{y≤x+\frac{3}{2}}\end{array}}\right.$所表示的平面區(qū)域內(nèi)，等價于當1≤x≤2時，$x≤f（x）≤x+\frac{3}{2}$恒成立．
設(shè)g（x）=f（x）-x=$-\frac{1}{2}{x^2}+ax+（1-a）lnx$，x∈[1，2]．
所以$g'（x）=-x+a+\frac{1-a}{x}=\frac{{-{x^2}+ax+（1-a）}}{x}$=$\frac{-（x-1）（x-（a-1））}{x}$．
（1）當a-1≤1，即a≤2時，
當x∈[1，2]時，g'（x）≤0，g（x）為單調(diào)減函數(shù)，
所以g（2）≤g（x）≤g（1）．
依題意應(yīng)有$\left\{{\begin{array}{l}{g（1）=a-\frac{1}{2}≤\frac{3}{2}}\\{g（2）=-2+2a+（1-a）ln2≥0}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{a≤2}\\{a≥1}\end{array}}\right.$，即1≤a≤2；
（2）若1＜a-1＜2，即2＜a＜3時，
當x∈[1，a-1），g'（x）≥0，g（x）為單調(diào)增函數(shù)，
當x∈（a-1，2]，g'（x）＜0，g（x）為單調(diào)減函數(shù)．
由于$g（1）＞\frac{3}{2}$，所以不合題意．
（3）當a-1≥2，即a≥3時，注意到$g（1）=a-\frac{1}{2}≥\frac{5}{2}$，顯然不合題意．
綜上所述，1≤a≤2．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用分類討論的思想方法和函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．