Question

【題目】已知兩定點(diǎn),滿足條件的點(diǎn)P的軌跡是曲線E,直線y=kx-1與曲線E交于A,B兩點(diǎn),

(1)求k的取值范圍;

(2)如果,且曲線E上存在點(diǎn)C,使,求m的值和的面積S。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），面積為.

【解析】

試題（1）由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，，所以方程為；（2）由于直線和雙曲線相交于左支，且有兩個(gè)交點(diǎn)，故聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程，消去后得到關(guān)于的一元二次方程的判別式大于零，且韋達(dá)定理兩根的和小于零，兩根的積大于零，由此列不等式組，求解的的取值范圍；（3）利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算得直線斜率為.由題設(shè)向量關(guān)系，得到，代入雙曲線方程，求得，利用面積公式求得面積為.

試題解析：

（1）由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且，易知

故曲線的方程為

（2）設(shè)，由題意建立方程組

消去，得

又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，有解得

（3）

依題意得

整理后得

∴或

但∴

故直線的方程為

設(shè)，由已知，得

∴

又

∴點(diǎn)

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程，得得，

但當(dāng)時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意

∴，點(diǎn)的坐標(biāo)為 到的距離為

∴的面積