Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面是等邊三角形，頂點(diǎn)A₁在底面的射影為點(diǎn)B，且△ABA₁是一個等腰直角三角形，則異面直線AB與B₁C所成的角大小為（　　）

• A、

  π

  4

• B、arccos

  3

  4

• C、arccos

  2 5

  5

• D、

  π

  3

Answer 1

分析：建立坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出

AB

， 

B1C

的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式求出

AB

，

B1C

的夾角余弦，取其絕對值即為異面直線AB與B₁C所成的角的余弦．

解答：解：取AC的中點(diǎn)D，以BD為x軸，以BA₁為z軸，過B平行于AC的直線為y軸建立坐標(biāo)系，設(shè)底面的邊長為1，則側(cè)棱長為

2

則
A（

3

2

，-

1

2

，0），B（0，0，0），C（

3

2

，

1

2

，0），B1(-

3

2

，

1

2

，1)

AB

=(-

3

2

，

1

2

，0)，

B1C

=(

3

，0，-1)
∴

AB

•

B1C

=-

3

2

∵|

AB

|=1，|

B1C

|=2
∴cos＜

AB

，

B1C

＞=

AB • B1C

| AB |=1| B1C |

=-

3

4

設(shè)異面直線AB與B₁C所成的角為θ
∴cosθ=

3

4

∴θ=arccos

3

4

故選B

點(diǎn)評：解決立體幾何中的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及度量關(guān)系常借助的工具是空間向量．