Question

（1）以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．已知直線的極坐標(biāo)方程為θ=

π

4

(ρ∈R)，它與曲線

x=2+ 5 cosθ y=1+ 5 sinθ

(θ為參數(shù)）相交于兩點(diǎn)A和B，求|AB|．
（2）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線L的參數(shù)方程為

x=3- 5 5 t y=-2+ 2 5 5 t

（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=4cosθ．設(shè)圓C與直線L交于點(diǎn)A、B．若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，-2），求|PA|+|PB|及|PA|•|PB|．

Answer 1

分析：（1）先利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，將極坐標(biāo)方程為化成直角坐標(biāo)方程，再將曲線C的參數(shù)方程化成普通方程，最后利用直角坐標(biāo)方程的形式，利用垂徑定理及勾股定理，由圓的半徑r及圓心到直線的距離d，即可求出|AB|的長(zhǎng)．
（2）先根據(jù)題意得出圓C的普通方程，再根據(jù)直線與交與交于A，B兩點(diǎn)，可以把直線與曲線聯(lián)立方程，用根與系數(shù)關(guān)系結(jié)合直線參數(shù)方程的幾何意義，求出答案．

解答：解：（1）∵ρ=

π

4

，
利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，進(jìn)行化簡(jiǎn)，
∴x-y=0，

x=2+ 5 cosθ y=1+ 5 sinθ

相消去θ可得
圓的方程（x-2）²+（y-1）²=5得到圓心（2，1），半徑r=

5

，
所以圓心（2，1）到直線的距離d=

1

2

=

2

2

，
所以|AB|=2 

r2-d2

=3

2

∴線段AB的長(zhǎng)為 3

2

．
（2）圓C的普通方程是（x-2）²+y²=4，
將直線l的參數(shù)方程代入并化簡(jiǎn)得t²-2

5

t+1=0，
由直線參數(shù)方程的幾何意義得，|PA|+|PB|=2

5

，|PA|•|PB|=1．

點(diǎn)評(píng)：（1）本小題主要考查圓的參數(shù)方程和直線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及利用圓的幾何性質(zhì)計(jì)算圓心到直線的距等基本方法，屬于基礎(chǔ)題．
（2）此題主要考查參數(shù)方程的優(yōu)越性，及直線與曲線相交的問題，在此類問題中一般可用聯(lián)立方程式后用韋達(dá)定理求解即可，屬于綜合性試題．