Question

已知函數f（x）=

1

3

x3+x2+ax-5
（1）若函數在（-∞，+∞）總是單調函數，求：實數a的取值范圍；
（2）若函數在[1，+∞）上總是單調函數，求：實數a的取值范圍；
（3）若函數在區(qū)間（-3，1）上單調遞減，求：實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：求函數的單調性，利用函數單調性和導數之間的關系即可得到結論．

解答： 解：函數的f（x）的導數f′（x）=x²+2x+a，
（1）若函數在（-∞，+∞）總是單調函數，
則滿足f′（x）=x²+2x+a≥0恒成立，
即判別式△=4-4a≤0，解得a≥1；
（2）若函數在[1，+∞）上總是單調函數，
則滿足f′（x）=x²+2x+a≥0在[1，+∞）恒成立，
即a≥-x²-2x在[1，+∞）上恒成立，
∵-x²-2x=-（x+1）²+1，在[1，+∞）上單調遞減，
∴函數y=-x²-2x的最大值為-3，
則a≥-3；
（3）函數在區(qū)間（-3，1）上單調遞減，
則滿足f′（x）=x²+2x+a≤0在（-3，1）恒成立，
即a≤-x²-2x，
∵-x²-2x=-（x+1）²+1，
∴對稱軸為x=-1，
則當x=1或x=-3時，y=-x²-2x=-3，
則-x²-2x＞-3
∴a≤-3．

點評：本題主要考查函數單調性和導數之間的關系，利用導數是解決本題的關鍵．