Question

“神州”號飛船返回艙順利到達(dá)地球后，為了及時將航天員救出，地面指揮中心在返回艙預(yù)計到達(dá)的區(qū)域安排了同一條直線上的三個救援中心（記為B，C，D）．當(dāng)返回艙距地面1萬米的P點時（假定以后垂直下落，并在A點著陸），C救援中心測得飛船位于其南偏東60°方向，仰角為60°，B救援中心測得飛船位于其南偏西30°方向，仰角為30°．D救援中心測得著陸點A位于其正東方向．
（1）求B，C兩救援中心間的距離；
（2）D救援中心與著陸點A間的距離．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可知△PAC，△PAB均為直角三角形，進(jìn)而分別在兩個三角形中利用其中的一角和一邊求得AC和AB，最后利用勾股定理求得BC．
（2）先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cos∠ACD，進(jìn)而利用sin∠ADC=sin（30°+∠ACD）借助兩角和公式求得sin∠ADC，最后利用正弦定理求得AD．

解答：解：（1）由題意知PA⊥AC，PA⊥AB，則△PAC，△PAB均為直角三角形
在Rt△PAC中，PA=1，∠PCA=60°，解得AC=

3

3

在Rt△PAB中，PA=1，∠PBA=30°，解得AB=

3

又∠CAB=90°，BC=

AC2+BC2

=

30

3

萬米
（2）sin∠ACD=sin∠ACB=

3

10

，cos∠ACD=-

1

10

，
又∠CAD=30°，所以sin∠ADC=sin(30°+∠ACD)=

3 3 -1

2 10

在△ADC中，由正弦定理，

AC

sin∠ADC

=

AD

sin∠ACD

AD=

AC•sin∠ACD

sin∠ADC

=

9+ 3

13

萬米

點評：本題主要考查了解三角形的實際應(yīng)用．解此類題的要點是建立適當(dāng)?shù)娜�角函�?shù)模型，利用三角函數(shù)的基本公式和定理進(jìn)行求解．