Question

已知半徑為5的圓C的圓心在x軸上，圓心的橫坐標是整數，且與直線4x+3y-29=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）設直線ax-y+5=0與圓C相交于A，B兩點，求實數a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在實數a，使得過點P（-2，4）的直線l垂直平分弦AB？若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出圓心坐標，利用圓與直線4x+3y-29=0相切，圓心的橫坐標是整數，即可求得圓C的方程；
（2）利用圓心到直線的距離小于半徑，可求實數a的取值范圍；
（3）假設存在，則PC⊥AB，由此可得結論．

解答：解：（1）設圓心坐標為（a，0），則
∵圓與直線4x+3y-29=0相切，∴5=

|4a-29|

5

，∴a=1或a=13.5
∵圓心的橫坐標是整數，∴a=1
∴圓C的方程為（x-1）²+y²=25；
（2）由題意，圓心到直線的距離為d=

|a+5|

a2+1

＜5
∴12a²-5a＞0，∴a＜0或a＞

5

12

；
（3）假設存在，則PC⊥AB，∴

4-0

-2-1

×a=-1，∴a=

3

4

∵

3

4

＞

5

12

，
∴a=

3

4

時，使得過點P（-2，4）的直線l垂直平分弦AB

點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查點到直線距離公式的運用，屬于中檔題．