已知函數(shù)y=x+
a
x
有如下性質(zhì):如果常數(shù)a>0,那么該函數(shù)在(0,
a
]
上是減函數(shù),在[
a
,+∞)
上是增函數(shù),
(1)如果函數(shù)y=x+
3m
x
(x>0)
的值域是[6,+∞),求實數(shù)m的值;
(2)研究函數(shù)f(x)=x2+
a
x2
(常數(shù)a>0)在定義域內(nèi)的單調(diào)性,并說明理由;
(3)若把函數(shù)f(x)=x2+
a
x2
(常數(shù)a>0)在[1,2]上的最小值記為g(a),求g(a)的表達式.
分析:(1)根據(jù)題意,易得由已知,函數(shù)y=x+
3m
x
(x>0)
(0,
3m
]
上是減函數(shù),在[
3m
,+∞)
上是增函數(shù),則該函數(shù)當x=
3m
時,取得最小值,有題意知其最小值為6,可得2
3m
=6
,解可得答案;
(2)根據(jù)題意,求得f(x)=x2+
a
x2
的定義域為x≠0,再令t=x2,x≠0,有t>0,則y=t+
a
t
,那么該函數(shù)在(0,
a
]
上是減函數(shù),在[
a
,+∞)
上是增函數(shù),而t=x2在(0,+∞)單調(diào)遞增,在(-∞,0)單調(diào)遞減;
由復合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案;
(3)由(2)的結論,分可
4a
>2
、1≤
4a
≤2
4a
<1
三種情況討論,分別得到g(a)的表達式,即可得答案.
解答:解:(1)由已知,函數(shù)y=x+
3m
x
(x>0)
(0,
3m
]
上是減函數(shù),在[
3m
,+∞)
上是增函數(shù),
ymin=
3m
+
3m
3m
=2
3m

2
3m
=6
,3m=9
因此m=2.
(2)根據(jù)題意,f(x)=x2+
a
x2
,x≠0,
令t=x2,x≠0,則t>0,
故y=t+
a
t
,那么該函數(shù)在(0,
a
]
上是減函數(shù),在[
a
,+∞)
上是增函數(shù),
而t=x2在(0,+∞)單調(diào)遞增,在(-∞,0)單調(diào)遞減;
由復合函數(shù)的單調(diào)性,
(0,
4a
]
時,t=x2遞增,t在(0,
a
]
上,則y=t+
a
t
是減函數(shù),故f(x)在(0,
4a
]
上是減函數(shù),
當x∈[
4a
,+∞)
時,t=x2遞增,t在[
a
,+∞)
上,則y=t+
a
t
是增函數(shù),故f(x)在[
4a
,+∞)
上是增函數(shù),
當x∈(-∞,-
4a
]
,t=x2遞減,t在[
a
,+∞)
上,則y=t+
a
t
是增函數(shù),故f(x)在[
4a
,+∞)
上是減函數(shù),
當x∈(0,
4a
]
,t=x2遞減,t在(0,
a
]
上,則y=t+
a
t
是減函數(shù),故f(x)在[
4a
,+∞)
上是增函數(shù),
因此f(x)在(-∞,-
4a
]
,(0,
4a
]
上是減函數(shù),在[-
4a
,0)
,[
4a
,+∞)
上是增函數(shù).
(3)由(2)知,f(x)在(0,
4a
]
上是減函數(shù),在[
4a
,+∞)
上是增函數(shù),
于是當
4a
>2
,即a>16時,g(a)=f(2)=4+
a
4
,
1≤
4a
≤2
,即1≤a≤16時,g(a)=f(
4a
)=2
a
,
4a
<1
,即0<a<1時,g(a)=f(1)=1+a.          
因此g(a)=
1+a  (0<a<1)
2
a
  (1≤a≤16)
4+
a
4
  (a>16)
點評:本題考查函數(shù)單調(diào)性的運用,解題的關鍵在于緊扣題干所給函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì),并利用其解題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)y=x+
a
x
有如下性質(zhì):如果常數(shù)a>0,那么該函數(shù)在(0,
a
]上是減函數(shù),在[
a
,+∞)上是增函數(shù).
(Ⅰ)如果函數(shù)y=x+
2b
x
(x>0)的值域為[6,+∞),求b的值;
(Ⅱ)研究函數(shù)y=x2+
c
x2
(常數(shù)c>0)在定義域內(nèi)的單調(diào)性,并說明理由;
(Ⅲ)對函數(shù)y=x+
a
x
和y=x2+
a
x2
(常數(shù)a>0)作出推廣,使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例.研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性(只須寫出結論,不必證明),并求函數(shù)F(x)=(x2+
1
x
n+(
1
x2
+x
n(n是正整數(shù))在區(qū)間[
1
2
,2]上的最大值和最小值(可利用你的研究結論).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)y=x+
a
x
旦(a>0)有如下的性質(zhì):在區(qū)間(0,
a
]上單調(diào)遞減,在[
a
,+∞)上單調(diào)遞增.
(1)如果函數(shù)f(x)=x+
2b
x
在(0,4]上單調(diào)遞減,在[4,+∞)上單調(diào)遞增,求常數(shù)b的值.
(2)設常數(shù)a∈[l,4],求函數(shù)y=x+
a
x
在x∈[l,2]的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)y=x+
a
x
有如下性質(zhì):如果常數(shù)a>0,那么該函數(shù)在(0,
a
上是減函數(shù),在
a
,+∞)上是增函數(shù).
(1)如果函數(shù)y=x+
2b
x
在(0,4)上是減函數(shù),在(4,+∞)上是增函數(shù),求實常數(shù)b的值;
(2)設常數(shù)c∈1,4,求函數(shù)f(x)=x+
c
x
(1≤x≤2)的最大值和最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)y=x+
a
x
(x>0)有如下性質(zhì):如果常數(shù)a>0,那么該函數(shù)在(0,
a
]上是減函數(shù),在[
a
,+∞)上是增函數(shù).
(1)如果函數(shù)y=x+
b2
x
(x>0)的值域為[6,+∞),求b的值;
(2)研究函數(shù)y=x2+
c
x2
(x>0,常數(shù)c>0)在定義域內(nèi)的單調(diào)性,并用定義證明(若有多個單調(diào)區(qū)間,請選擇一個證明);
(3)對函數(shù)y=x+
a
x
和y=x2+
a
x2
(x>0,常數(shù)a>0)作出推廣,使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例.研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性(只須寫出結論,不必證明),并求函數(shù)F(x)=(x2+
1
x
)2
+(
1
x2
+x)2
在區(qū)間[
1
2
,2]上的最大值和最小值(可利用你的研究結論).

查看答案和解析>>

同步練習冊答案