Question

18、已知A（4，2），在焦點(diǎn)F的拋物線y²=4x上求一點(diǎn)M，使|MA|+|MF|為最小，并加以證明．

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線方程及A點(diǎn)坐標(biāo)可以推知A點(diǎn)在拋物線內(nèi)，把拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到拋物線的準(zhǔn)線的距離，結(jié)合圖象，易得過(guò)點(diǎn)A且與準(zhǔn)線L垂直的直線與拋物線的交點(diǎn)即為所求．

解答：證明：設(shè)P是拋物線上任意一點(diǎn)，L是拋物線的準(zhǔn)線，過(guò)P作PP₁ ⊥L，垂足為P₁，過(guò)A作AA₁⊥L，垂足為A₁，且交拋物線于點(diǎn)M，
∴|PA|+|PF|=|PA|+|PP₁|≥|AA₁|=|MA|+|MA₁|=|MF|+|MA|，
即M點(diǎn)為所求．
把y=2代入y²=4x中，解得x=1，故M（1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的定義，充分利用了拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離相等這一特性，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想．