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7.已知函數(shù)f(x)=a(x-1)2+lnx+1,g(x)=f(x)-x,其中a∈R.
(Ⅰ)當(dāng)a=-14時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;
(Ⅱ)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),若y=f(x)圖象上的點(diǎn)都在{x1yx所表示的平面區(qū)域內(nèi),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的極大值即可;
(Ⅱ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(Ⅲ)問題轉(zhuǎn)化為x∈[1,+∞)時(shí),g(x)=a(x-1)2+lnx+1-x≤0恒成立,只需g(x)max≤0即可,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍.

解答 解:(Ⅰ)當(dāng)a=-14時(shí),f(x)=-14x2+12x+lnx+34,
f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),f′(x)=-x+1x22x;
列表討論f′(x)和f(x)的變化情況:

x(0,2)2(2,+∞)
f′(x)+0-
f(x)極大值
∴當(dāng)x=2時(shí),f(x)取得極大值f(2)=ln2+34;
(Ⅱ)當(dāng)a>0時(shí),g(x)=ax2-(2a+1)x+lnx+a+1,
g(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),
g′(x)=2ax1x12ax,
令g′(x)=0,得x=1或x=12a,
(1)當(dāng)0<a<12,即12a>1時(shí),
由g′(x)<0,解得:1<x<12a,
由g′(x)>0,解得:0<x<1或x>12a,
∴g(x)在(1,12a)上單調(diào)遞減,
在(0,1),(12a,+∞)上單調(diào)遞增;    
(2)當(dāng)a=12,即12a=1時(shí),在(0,+∞)上,g′(x)≥0,
∴g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;    
(3)當(dāng)a>12,即0<12a<1時(shí),
由g′(x)<0,解得12a<x<1,由g′(x)>0,解得0<x<12a或x>1,
∴g(x)在(12a,1)上單調(diào)遞減,
在(0,12a),(1,+∞)上單調(diào)遞增.   
(Ⅲ)∵y=f(x)圖象上的點(diǎn)都在{x1yx所表示的平面區(qū)域內(nèi),
∴當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),f(x)-x≤0恒成立,
即當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),g(x)=a(x-1)2+lnx+1-x≤0恒成立.
只需g(x)max≤0;
(1)當(dāng)a>0時(shí),由(Ⅱ)知,
?當(dāng)0<a<12時(shí),g(x)在(1,12a)上單調(diào)遞減,在(12a,+∞)上單調(diào)遞增,
∴g(x)在[1,+∞)上無最大值,不滿足條件;
?當(dāng)a≥12時(shí),g(x) 在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴g(x)在[1,+∞)上無最大值,不滿足條件;
(2)當(dāng)a=0時(shí),g′(x)=-x1x,在(1,+∞)上,g′(x)<0,
∴g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,g(x)≤g(1)=0成立;   
(3)當(dāng)a<0時(shí),g′(x)=2ax1x12ax,在(1,+∞)上,g′(x)<0,
∴g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,g(x)≤g(1)=0成立,
綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤0.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題,是一道綜合題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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