Question

實數(shù)一元二次方程x²+ax+2b=0有兩個根，一個根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一個根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，
（1）求點（a，b）對應(yīng)的區(qū)域的面積；
（2 ）求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²+ax+2b
∵一元二次方程x²+ax+2b=0有兩個根，一個根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一個根在區(qū)間（1，2）內(nèi)
∴
對應(yīng)的區(qū)域如圖所示

由，可得a=-3，b=1，
∴點（a，b）對應(yīng)的區(qū)域的面積為=1；
（2 ）表示（a，b）與點（1，2）連線的斜率
由（-3，1），（1，2）可得斜率為=；由（-1，0），（1，2）可得斜率為=1
∴的取值范圍為（，1）．
分析：（1）構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²+ax+2b，利用零點存在定理，建立不等式組，確定平面區(qū)域，即可求得點（a，b）對應(yīng)的區(qū)域的面積；
（2）明確的幾何意義，求出斜率，即可求的取值范圍．
點評：本題主要考查了一元二次方程根的分布，以及線性規(guī)劃的基本知識，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．