Question

已知F₁、F₂是橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的兩個焦點，P是橢圓上一點．
（1）寫出橢圓的焦點坐標，頂點坐標，長軸長，短軸長和離心率；
（2）求△PF₁F₂的周長；
（3）若∠F₁PF₂=60°，求△PF₁F₂的面積；
（4）若PF₁⊥PF₂，求點P的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：利用橢圓的簡單性質求解．

解答： 解：（1）∵F₁、F₂是橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的兩個焦點，
∴a=5，b=3，c=

25-9

=4，
∴橢圓的焦點坐標F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），
頂點坐標A₁（-5，0），A₂（5，0），B₁（0，-3），B₂（0，3），
長軸長2a=10，短軸長2b=6，離心率e=

c

a

=

4

5

．
（2）∵P是橢圓上一點，
∴△PF₁F₂的周長L=2a+2c=18．
（3）∵∠F₁PF₂=60°，
∴△PF₁F₂的面積S=b²tan60°=9×

3

=9

3

．
（4）PF₁⊥PF₂，設點P的坐標（x₀，y₀），
則S△PF1F2=b²tan90°=

1

2

•2c•|y0|，
∴9=4|y₀|，解得|y₀|=

9

4

，
∴|x₀|=

5 7

4

．
∴P（-

5 7

4

，-

9

4

），或P（-

5 7

4

，

9

4

），或P（

5 7

4

，

9

4

），或P（

5 7

4

，-

9

4

）．

點評：本題考查橢圓的焦點坐標，頂點坐標，長軸長，短軸長和離心率的求法，考查三角形的周長和面積的求法，考查點的坐標的求法，解題時要注意橢圓的簡單性質的靈活運用．