Question

如圖，三棱錐P-ABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2a，點O，D分別是AB，PB的中點，PO⊥AB，點Q在線段AC上，且AQ=2QC．
（Ⅰ）證明：CD∥平面OPQ
（Ⅱ）若二面角A-PB-C的余弦值的大小為

5

5

，求PA．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連接AD，交PO于M，連接OD，QM，則利用三角形中位線的性質(zhì)，結(jié)合AQ=2QC，證明MQ∥CD，利用線面平行的判定定理證明CD∥平面OPQ
（Ⅱ）作OH⊥PB于H，連接CH，證明∠CHO是二面角A-PB-C的平面角，利用二面角A-PB-C的余弦值的大小為

5

5

，求出HB，在Rt△POB中，由射影定理可得OB²=BH•BP，即可求PA．

解答： （Ⅰ）證明：連接AD，交PO于M，連接OD，QM，則
∵點O，D分別是AB，PB的中點，
∴OD∥AP，OD=

1

2

AP，
∴

AM

MD

=

AP

OD

=2=

AQ

QC

，
∴MQ∥CD，
∵M(jìn)Q?平面OPQ，CD?平面OPQ，
∴CD∥平面OPQ
（Ⅱ）解：連接OC，則
∵平面PAB⊥平面ABC，PO⊥AB，平面PAB∩平面ABC=AB，
∴PO⊥平面ABC，
∴PO⊥AB，PO⊥OC
∵AC=BC，點O是AB的中點，
∴OC⊥AB，且OA=OB=OC=

2

a，
作OH⊥PB于H，連接CH，則
∵PO⊥OC，OC⊥AB，PO∩AB=A，
∴OC⊥平面PAB，
∴CH⊥PB，
∴∠CHO是二面角A-PB-C的平面角，
∵二面角A-PB-C的余弦值的大小為

5

5

，
∴cos∠CHO=

5

5

，
∴tan∠CHO=2，
在Rt△COH中，∴HO=

2

2

a，
∴HB=

6

2

a，
在Rt△POB中，由射影定理可得OB²=BH•BP，
∴BP=

OB2

BH

=

2a2

6 2 a

=

2 6

3

a
∴PA=

2 6

3

a．

點評：本題考查線面平行，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確作出面面角，利用線面平行的判定定理是關(guān)鍵．