Question

15．如圖是一個(gè)纜車示意圖，該纜車的半徑為4.8m，圓上最低點(diǎn)與地面的距離為0.8m，纜車每60s轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)θ角到OB，設(shè)B點(diǎn)與地面的距離為hm．
（1）求h與θ之間的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)從OA開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)ts達(dá)到OB，求h與之間的函數(shù)解析式，并計(jì)算經(jīng)過(guò)45s后纜車距離地面的高度．

Answer 1

分析 （1）以圓心O為原點(diǎn)，以水平方向?yàn)閤軸方向，以豎直方向?yàn)閥軸方向建立平面直角坐標(biāo)系，則根據(jù)纜車半徑為4.8m，圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8m，60秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，即可得到h與θ間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由60秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，我們易得點(diǎn)A在圓上轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是$\frac{π}{30}$，故t秒轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為$\frac{π}{30}$t，根據(jù)（1）的結(jié)論，我們將$\frac{π}{30}$t代入解析式，即可得到滿足條件的t值．

解答 解：（1）以圓心O為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則以O(shè)x為始邊，OB為終邊的角為θ-$\frac{π}{2}$，
故點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4.8cos（θ-$\frac{π}{2}$），4.8sin（θ-$\frac{π}{2}$）），
∴h=5.6+4.8sin（θ-$\frac{π}{2}$）=5.6-4.8cosθ．
（2）點(diǎn)A在圓上轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是$\frac{π}{30}$，故t秒轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為$\frac{π}{30}$t，
∴h=5.6-4.8cos$\frac{π}{30}$t，t∈[0，+∞）．
當(dāng)t=45s．h=5.6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型，在建立函數(shù)模型的過(guò)程中，以圓心O為原點(diǎn)，以水平方向?yàn)閤軸方向，以豎直方向?yàn)閅軸方向建立平面直角坐標(biāo)系，是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．